2015年中考模拟试卷数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．﹣5的绝对值是（▲）A ．5B ．－5C ．－15D ．152． 估计某市2015年参加中考的考生人数约为 4.60×410人，则这个数精确的位数为（▲） A ．百分位 B ．十分位 C ．千位D ．百位3．下列计算，正确的是（▲）A ．()32628xx = B ．623a a a ÷= C ．222326a a a ⨯= D ．01303⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭4． 下面的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（▲）A ．4B ．3C ．2D ．15． 有3 cm ，6 cm ，8 cm ，9 cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则能组成三角形的概率为（▲）A ．12 B ．14C ．34D ． 16．函数y =x 的取值范围是（▲） A ．1x >B ．1x ≥C ．2x >-D ．2x ≥-7．甲、乙两同学近期10次百米跑测试成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差=2甲S 4.2，乙同学成绩的方差=2乙S 3．0，则对他们测试成绩的稳定性判断正确的是（▲）A ．甲的成绩较稳定B ．乙的成绩较稳定C ．甲、乙成绩的稳定性相同D ．甲、乙成绩的稳定性无法比较 8．如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为（▲）A ． 3πB ．3C ．6πD ．69．如图，是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x =2，与x 轴的一个交点是（-1，0）．有下列结论：①2b ＜4ac ；②a b c ++＜0；③4a b +=0；④抛物线与x 轴的另一个交点是（4，0）；⑤点（-2，1y ），（5，2y ）都在抛物线上，则有1y ＞2y ．其中正确的是（▲）A ．①③④B ．②③④C ．②③⑤D ．①②⑤10．如图，正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在CD 的中点，连接BE 交AC 于点G,过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，则①CF 的长为255；②102BG CG =；③∠OFG=45°；④OF 的长为105以上结论中正确的有几个（▲） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题卡相应位置．．．．．．上） 11．分解因式：2228x y -= ▲ .12．不等式组23020x x +>⎧⎨-≤⎩的解集是 ▲ .13．如图，已知AB ∥CD ，∠1=62°，则∠2的度数是 ▲ .14．一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的正方形，则这个几何体是 ▲ ．第8题第9题第10题15．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 为对角线AC 上两点，连接ED ，EB ，FD ，FB ．给出以下结论：①BE ∥DF ；②BE=DF ；③AE=CF ．请你从中选取一个条件，能使∠1=∠2成立的有 ▲ 个． 16．已知函数y=kx的图象如图，以下结论：①k ＜0；②在每个分支上y 随x 的增大而增大；③若点A （-1，1y ）、点B （2，2y ）在图象上，则1y ＜2y ；④若点P （x ，y ）在图象上，则点P 1（-x ，-y ）也在图象上．其中正确是 ▲ （填序号）.17．如图,A 是半径为2的⊙O 外一点,OA= 22,AB 是⊙O 的切线,点B 是切点,弦BC ∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为 ▲ . 18．A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对A 点作如下移动：第一次从原点向右移动一个单位至B ，第二次从点B 向左移动3个单位长度至点C ，第三次从点C 向右移动6个单位长度至点D ，第四次从点D 向左移动9个长度至点E ，…，依此类推，这样移动 ▲ 次后该点到原点的距离为101.三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满11分）（1）计算：1)31(8|2|45sin 2-+--︒+ （2）先化简，再求值：2121111a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中31a =+ 20．（本小题满分9分）一次函数1y kx b =+和反比例函数2my x=相交于A （1,3）、B （﹣3，n ）两点. （1）求反比例函数的解析式及n 的值； （2）一次函数的解析式；（3）根据图像当12y y >时，直接写出对应自变量x 的取值范围. 21．（本小题满分8分）AB(5)COBA第13题 第16题 第17题第15题某市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业的时间不超过1.5小时，该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图（如图）的一部分．时间（小时）频数（人数）频率0≤t＜0.5 4 0.10.5≤t＜1 a0.31≤t＜1.5 10 0.251.5≤t＜2 8 b2≤t＜2.5 6 0.15合计c 1（1）在图1中，a= ▲，b= ▲，c ▲；（2）补全频数分布直方图；（3）请估计该校1400名初中学生中，约有多少学生在1.5小时以内完成了家庭作业．22．（本小题满分8分）一天晚上，小明帮妈妈清洗两只只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小明只好把茶杯和杯盖随机搭配在一起，求颜色搭配正确的概率．23．（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，点E是弧AD上的一点，∠DBC=∠BED．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．24．（本小题满分8分）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果精确到0.1米）．25．（本小题满分10分）甲、乙两车同时从M地出发，以各自的速度匀速向N地行驶．甲车先到达N地，停留1h后按原路以原速匀速返回，直到两车相遇，乙车的速度为50km/h．如图是两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数图象．（1）甲车的速度是▲km/h，M、N两地之间相距▲km；（2）求两车相遇时乙车行驶的时间；（3）求线段AB所在直线解析式．26．（本小题满分10分）将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF．（1）如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．①求证：DA∥BC；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求DFAF的值（用含m、α的式子表示）．(第25 题）x/hy/kmOA4B100t27．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB=4 ，∠ACB=30°，点O 为对角线AC 的中点，边长为23的等边△PMN 以B 为起点沿直线BC 以每秒3个单位长度的速度平移到终点C ，设△PMN 与矩形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），△PMN 运动的时间为t （秒）．（1）求点P 落在AC 上时t 的值；（2）当△PMN 在直线BC 上运动过程中，求S 与t 之间的函数关系式；（3）直接写出直线AP 平分△ABC 面积时t 的值．28．（本小题满分12分）在如图所示的平面直角坐标系内，有B (－1，0)，A(0，3)，将以A 、B 、O 三点为顶点的三角形绕点O 沿顺时针方向旋转90°至△COD 的位置．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ABP 为直角三角形，若存在直接写出所有的点P 的坐标；（3）连接BD ，在抛物线上是否存在这样的点M ，使MDC DBC S S △△，若存在请求出点M 的坐标．2015年中考模拟试卷数学试题参考答案与评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．2(2)(2)x y x y +-12．32-＜2x ≤ 13．62° 14．正方体 15．216．①②④ 17．π18．68三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19．（本小题满分11分）（1）解：原式=2⨯2+3 ……………………………………………………4分+3=3．…………………………………………………………… 5分（2）解：原式=12(1)(1)(1)(1)a a a a a a ⎡⎤---⎢⎥+-+-⎣⎦(1)a ⨯+…………………………………7分 =12(1)(1)(1)a a a a a --+⨯++-=11a -…………………………………………9分．当1a =+时，原式 …………………………………………11分 20．（本小题满分9分）解：（1）将A （1 ，3）代入反比例函数2my x=得3m = ∴反比例函数的解析式为23y x=………………………………………………………………2分 将点B （﹣3，n ）代入23y x=得1n =-……………………………………………… 3分 （2）将A （1 ，3）、B （﹣3，﹣1）代入一次函数1y kx b =+，得331k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得12k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为2y x =+…………………………………………………………………7分 （3）当12y y >时，对应自变量x 的取值范围是1x >或30x -<<………………………9分 21．（本小题满分8分）解：（1）抽查的总的人数是：4400.1=（人），a=40×0.3=12（人），840b==0.2；故答案为：12，0.2，40；…………………………………………………………………3分（2）根据（1）可得：每天完成家庭作业的时间在0.5≤t＜1的人数是12，补图如左：……………………………………………5分（3）根据题意得：4121040++×1400=910（名）……………………7分答：约有多少910名学生在1.5小时以内完成了家庭作业．……………………8分22．（本小题满分8分）一天晚上，小明帮妈妈清洗两只只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小明只好把茶杯和杯盖随机搭配在一起，求颜色搭配正确的概率．解：两只茶杯分别用字母A、B表示，对应的杯盖分别用字母a、b表示所有的可能结果列出树形图如下四种结果：茶杯 A B杯盖 a b a b…………………………………………………………4分颜色搭配正确的结果是：两种颜色搭配正确的概率是：12…………………………………………………………8分23．（本小题满分8分）解：（1）证明：∵AB是⊙O的切直径，∴∠ADB=90°，又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+ABD=90°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；………………………………………………………………………………4分（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC CDCA BC=，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，∴BC=10．…………………………………………………………………………………………8分24．（本小题满分8分）解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，过点B 作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，∵∠DBF=30°，sin∠DBF=12DFBC=，cos∠DBF=32BFBD=∵BD=6 …………………………………………………………1分∴DF=3，33BF=………………………………………………2分∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，∴四边形BFCE为矩形∴BF=CE=33，CF=BE=CD-DF=1……………………………5分在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=33∴AB=33+1=3×1.732+1≈6.2(m)．……………………………………………………7分答：铁塔AB的高为6.2m．…………………………………………………………………8分25．（本小题满分10分）解：（1）甲车的速度是100÷4+50=75km/h，M、N两地之间相距75×4=300km；… 2分（2）两车相遇时乙车行驶的时间即为t，75（t-1）+50t=300×2解得t=5.4…………………………………………………………………………………………4分答：两车相遇时乙车行驶的时间5.4小时．…………………………………………5分（3）根据题意得：A（5，50），B（5.4，0）设AB所在直线解析式为y=kx+b（k≠0），将A、B点坐标代入得550 5.40 k bk b+=⎧⎨+=⎩解得125675 kb=-⎧⎨=⎩则AB所在直线解析式为y=-125x+675．……………………………………………………10分26．（本小题满分10分）（1）证明：①由旋转性质可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠DAB=∠ABC，∴DA∥BC．…………………………………………………………2分②猜想：DF=2AF．………………………………………………3分证明：如答图1所示，在DF上截取DG=AF，连接BG．由旋转性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF．∵在△DBG与△ABF中，DB ＝AB∠BDG ＝∠BAF DG ＝AF∴△DBG ≌△ABF （SAS ），………………………………………………………………5分 ∴BG=BF ，∠DBG=∠ABF ． ∵∠DBG+∠GBE=α=60°，∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°， 又∵BG=BF ，∴△BGF 为等边三角形， ∴GF=BF ，又BF=AF ， ∴GF=AF ．∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF ．………………………………………………………………7分（2）解：如答图2所示，在DF 上截取DG=AF ，连接BG ． 由（1），同理可证明△DBG ≌△ABF ，BG=BF ，∠GBF=α．过点B 作BN ⊥GF 于点N ，∵BG=BF ，∴点N 为GF 中点，∠FBN=2α)．在Rt △BFN 中，NF=BF •sin ∠FBN=BFsin 2α=mAFsin 2α． ∴GF=2NF=2mAFsin2α∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin2α， ∴DF AF =1+2msin 2α．………………………………………………………………10分27．（本小题满分12分）解：（1）如图1，过点P 作PE ⊥MN 、PF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，PE=23sin 60°=3，AF=4-3=1，PF=1 ⨯tan 60°=3，BN=23，233t ==2（s ） ∴当点P 落在AC 上时，2t =………………………3分(2)1°当01t <≤时（如图2） BN=3t ，BQ=3t ，S=123t g 3t =2332t ………5分图22°当12t <≤时（如图3） BN=3t ，BM=23()332t t -=-，BQ=()32t - 23(23)334s =⨯=△PMN ，()23322s t =-△BMQ ()2332332S t =--+……………………………7分 3°当24t <≤（如图4）33S =…………………………………………………9分 综上所述S 与t 的函数关系式为：S =()()()()2233012332331223324t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪⎪--+<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩………………10分 （3）如图5，当直线AP 平分△ABC 面积时，t 的值是32………………………………………………12分28．（本小题满分12分） 解：（1）由旋转的性质可得点C 、D 的坐标分别为（3,0），（0,1） 设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-，将点B(0，3)代入上式得1a =-∴抛物线的解析式为：223y x x =-++………………3分（2）存在这样的点P 使得△ABP 为直角三角形，点P 的坐标为：()1,1、(1,2)、21,3⎛⎫-⎪⎝⎭、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；………………6分 图3 图5图4（3）14122BCD S =⨯⨯=△ 1°当点M 在DC 下方时 过点B 作直线B 1M ，使得B 1M ∥CD 分别交y 轴、抛物线于点1N 、1M 由C （3,0），D （0,1）求的直线CD 的解析式为113y x =-+,设直线B 1M 解析式为13y x b =-+，将点B(0，3)代入得13b =- 直线B 1M 解析式为1133y x =-- 由2231133y x x y x ⎧=-++⎪⎨=--⎪⎩解得1110x y =-⎧⎨=⎩22103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩点1M 的坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭………………8分 2°当点M 在DC 上方时143DN =，将沿y 轴直线1BM 向上平移83个单位得到直线23M M ,分别交y 轴、抛物线于点2M 、3M ，直线23M M 的解析式为1733y x =-+ 由2231733y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩ 解得117736147318x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 227736147318x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩2M 7731473,⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭、3M 7731473,⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭…………………………………………11分点M 的坐标是1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭、7731473,⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭、7731473,⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭………………12分。