数 条件收敛 .
例如
：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n
(1)n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
说明：上述逆定理不一定成立。即
un 发散
un 发散
例9. 证明下列级数绝对收敛 :
(1) n1sinn4n ;
(2)
(1)n
n1
n2 en
.
证: (1)
sin n
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
Leibniz判别法:
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(常数 k > 0 ),
则有 (1) 若强级数 收敛 , 则弱级数 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例1.
un un1 0
lim
n
un
0
条件收敛
则交错级数 (1)nun收敛
n1
例1、（06，一，三）若 an c 则级数（ ）
A、 an c
B、 (1)n an c
C、 anan1 c
D、
an an1 c 2
例2、（05，三）设 un 0, n 1, 2,L , 若
un发散， (1)nun收敛，则下列结论正确的是（ ）
n1
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 .
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和.
A、 u2n1收敛， u2n发散 B、 u2n1发散， u2n收敛
C、 （u2n1 u2n）收敛 D、 （u2n1 u2n）收敛
第十一章
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
一、 函数项级数的概念
设 un (x) (n 1, 2, ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
n1
rn un1 .
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
234 1 1 1 1
2! 3! 4!
un1 n (u1n)n1
(n10n1)1! n1!1n01n!n
1 1n 1 10n 收1n敛
3)
1 10
2 102
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2) 令
(n 1)2
lim un1 lim en1 n un n n2
en
lim
n
1 e
n
n
12
1 e
1
n1
(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
内容小结
利用 “拆项相消” 求 和
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
例3. 判别级数
sin
n1
1 n
的敛散性
.
sin
1 n
～
1 n
解: limn sin 1 lim n 1 1
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例4. 判别级数 ln1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
考1虑强2 p1级1数 n22
p1(n1113)
1
pp11
np11
n的p1部1分 (和n
1 1)
p1
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
(n
1 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n1
1 n
发散
,
由比较审敛法可知
p
级数
发散 .
2) 若 p 1,因为当
1
np
n n1
1 np
d
x
时,
1 np
1 xp
,
故
n1 n1 x p
d
x
1 p 1
1 (n 1) p1
n
1
p1
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但
发散.
三、级数收敛的必要条件
性质5、设收敛级数
则必有
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
注意:
lim
1, 1 x
x 1 即是此种情形.
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn n0 则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为
(3) 当 l =∞
是两个正项级数,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
ห้องสมุดไป่ตู้vn
1 np
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
:
0l
lim n p nn l
n
p 1, 0l
un 发散 un 收敛
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而
lim Sn
n
a 1q
从而
lim
n
Sn
,
2). 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数（数一）
第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
一、常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
说明:据此定理
的收敛半径为 R lim an n an1
例1.求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim an lim n an1 n
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对
若常数项级数
收敛, 称 x0 为其收
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
例6. 讨论级数