第五章
习题课
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无穷级数
一、数项级数的审敛法
二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数
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主要内容
un为常数
常数项级数
un
n1
un为函数 un( x)
函数项级数
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求和 展开
(在收敛域内进行)
lim
n
un
0
不满足 发 散
满足
比值审敛法 lim n
un1 un
1
不定
根值审敛法
lim n
n
un
其它法判别
部分和有界 比较审敛法
1
收敛
1
发散
利用基本性质和正项级数 审敛法就可以判定负项级 数的敛散哦！
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3. 任意项级数审敛法
［概念］
为收敛级数
若
收敛 , 称
sin
1
发散
.
n1 n
例8. 判别级数 ln1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n2
1 n2
1
根据比较判别法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
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的敛散性 .
和
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都收敛, 证明级数
也收敛 .【另用比较法的极限形式处理也可以!】
［提示］ 因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,
存在
N
>
0,
当n >N 时
又因
2( un2 vn2 )
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
【练习】 设正项级数
和
都收敛, 证明级数
n1
unvn
,
n1
un n
也都收敛.
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lim
n
sn不存在
级数发散
综上
aqn
当q
1时,收敛于 a 1q
［要求熟记该结论］
n0
当q 1时,发散
例 3.判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
【解】
un
22n31n
3
4 3
n
,
已知级数为等比级数， 公比q 4 , 3
| q | 1, 原级数发散.
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例4. 判别下列级数的敛散性:
【解】 (1)
2 sn ln 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
解: lim un1 lim (n 1) xn x n un n n xn1
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ;
当x 1时,
【根值法也可以哦！】
【练习】 P264(同济p254;p268)
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例10. 设正项级数
在用定义判别级数的敛散性时，必须设法求出sn的具体
有限表达式，即须将sn中的省略号“…”消去，才能求
极限lim n
sn
，否则不能直接求出.
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例5. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
绝对收敛
若
发散 , 称
条件收敛
Leibnitz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且 s u1 ，余项
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级数审敛法表格一览
正项级数
交错级数
任意项级数
1. 若 sn s ,则 级 数 收 敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
4.充要条件 5.比较法p212 6.比值法p216 7.根值法p220
4.Leibnitz定理
p223同济262
4.绝对收敛p224 5.条件收敛
同济p263
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例1. p 级数
1 当p 1时,
np
n1
当p 1时,
收敛 发散 (常数p 0)
注：1.调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数。
［技巧］
利用 “拆项相消” 求 和
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(2)
sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n(n
1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
【小结】
［技巧］ 利用 “拆项相消” 求 和
例6.
设级数
n1
1 nn
,
（根值审敛法）
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
故级数收敛.
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例7.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
解: lim n sin 1 lim n 1 1
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sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较判别法的极限形式知
若存在N Z , 对一切 n N ,
注：2.几何级数（p205同济p250）也是常用的比较级数。
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例 2.讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)的收敛性.
n0
【解】 如果| q | 1时
时为数项级数;
时为幂级数;
(an ,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
【基本问题】 判别敛散； 求和函数(收敛域)； 级数展开.
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一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别数项级数的敛散性.
以及收敛级数的5条基本性质（p205同济p256）
2. 正项级数的比较审敛法
设 un和 vn均为正项级数，且 un vn
(n 1,2,)
则n1
n1
(1)若 收vn敛，必有 收敛u.n
n1
n1
【注意其极限形式
(2)若 发un散，必有
n1
发散vn.
n1
哦！P215同济p258】
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一、数项级数的审敛法
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3. 正项级数审敛法
必要条件
sn a aq 当q 1时,
aq2 aqn1 lim qn 0
n
a(1 qn )
1
lim
n
sn
q
1
a
q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
如果 q 1时
当q 1时, sn na
级数发散
当q 1时, 级数变为 a a a a
发散
s2n 0 0 s2n1 a a