证明: 下面先证
L P ( x, y )dx P [ (t ), (t )] (t )dt
根据定义 设分点 x i 对应参数 t i ,

lim P ( i , i ) xi
0
i 1
n
对应参数 i , 由于
xi xi xi 1 ( t i ) ( t i 1 ) ( i )t i
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有 一阶连
2 ( t ) 2 ( t ) 0, 则曲线积分 续导数, 且
L P ( x, y)dx Q ( x, y)dy存在,
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
{ P[ ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t )] ( t )}dt
L上有界. 将 L任意分割成n个有向小弧段 M i 1 M i ( i 1,2,, n, M i 1 M i的长记为si . M i 1 M i ri , i 1,2,, n, 任取M i 1 M i 上一 点( i , i ), 做数量积F ( i , i ) ri
L
A
M2 M1
M i 1 x i
yi
M i M n 1
即 Wi P ( i ,i )xi Q( i ,i )yi . o
x
求和 W Wi F ( i ,i ) ri
n n i 1
n
近似值
i 1
[ P ( i , i ) x i Q( i , i ) y i ].

4 3 ( sin t cos t cos t sin t )dt 3 16 2
4 2
2 0
(2) AOB
AOB

0
( x 2 y 2 )dx ( x 2 y 2 )dy Pdx Qdy Pdx Qdy
2 性质
1) 2)
AB AB
kF dr k
AB
F dr
AB
[ F ( x , y ) Q( x , y )] dr
F dr
AB
Q dr
其物理意义可解释为：合力做的功等于每个分 力所作的功之和或差。


同理可证
Q [ ( t ), ( t )] (t ) d t


特殊情形
(1) L : y y( x )
b L a
x起点为a，终点为b.
则 Pdx Qdy { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx .
( 2) L : x x ( y )
(1 32t )dt 17
0
1
例4 计算 L ( x y )dx ( x y )dy，其中L为
2 2 2 2
曲线y 1 | 1 x | (0 x 2)依增大的方向；
解 积分路线如图所示，其方 程为
y
x, 0 x 1 L: y 2 x , 1 x 2
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )t i
0
i 1
n
因为L 为光滑弧 ,
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )t i
0
i 1
n
P [ ( t ), ( t )] (t )dt
y 1
解
2nx lim dx L 1 n2 y 2 n 1 2nx lim dx 2 4 n 0 1 n x
lim arctan nx |
n 2 1 0
A(1,1)
o
1
x
lim arctan n
n

2
例3 设F { y / 3, x , x y z }，求 F dr , L是
L
(1) 圆弧 AB(半径为1)；( 2) 折线 AOB；
解： (1) AB 弧的参数方程为：
x cos t y sin t t [0, ] 2
y
A

x B A 点对应 t ，B 点对应 t 0， 0 2 0 I1 [(sin 2 t ) cos 2 t )(cos t ) (cos 3 t sin 2 t )(sin t )]dt
d L c
y起点为c，终点为d .
则 Pdx Qdy { P[ x ( y ), y] x ( y ) Q[ x ( y ), y]}dy.
x (t ) ( 3) 推广 : y ( t ), t起点 , 终点 . z (t )
一 第二型曲线积分的概念与性质
y
实例: 变力沿曲线所作的功
B
L : A B, F ( x , y ) { P ( x , y ), Q( x , y )} 常力所作的功 W F AB.
L
A
M2 M1
M i 1 x i
yi
M i M n 1
o
x
分割 A M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( x n1 , yn1 ), M n B .
b

• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x , y )ds
f ( r ( ) cos , r ( ) sin )

r 2 ( ) r 2 ( ) d
Fri. Apr. 28
§2 第二型曲线积分
第二型曲线积分的概念与性质
第二型曲线积分的计算
两类曲线积分的关系
Review
1. 定义
L f ( x , y ) ds
f ( x , y , z ) ds
2. 性质
(1)
f ( x , y , z ) g( x , y , z ) ds g( x , y , z )ds ( , 为常数) L ( 2) f ( x , y , z ) d s f ( x , y , z ) d s f ( x , y , z ) d s
M i 1 M i ( x i ) i ( y i ) j .
y 取 F ( i ,i ) P ( i ,i )i Q( i ,i ) j , Wi F ( i , i ) M i 1 M i ,
F ( i ,i )
B
规定： L 为封闭曲线时，规定 L 的 当
正向为：当沿封闭曲线行走时， 如果闭曲线所围成的区域总在 人的左侧，则人前进的方向为 正向。
L
二 第二型曲线积分的计算
定理 设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧L上有定义且连
x ( t ), 续, L的参数方程为 当参数t单调地由变 y ( t ), 到时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点B,
第二型曲线积分与曲线的方向有关。
三维空间的第二型曲线积分： 对向量场 F ( x , y , z ) { P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}
定义第二型曲线积分：
F dr Pdx Qdy Rdz

L
从点A(1,0,0)到B( 3,3,4)的直线；
解 直线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程为：
x 1 y z 2 3 4
0 t 1
参数方程为： x 1 2t y 3t z 4t
t 0 A, t 1 B
1 3t LF dr 0 [ 3 (2t ) (1 2t )(3t ) (1 9t )(4t )]dt
x y ,
2
y从 1到1.
B(1,1)
L xydx AB xydx
y 2 y( y 2 )dy
1 1
y2 x
A(1,1)
4 2 y 4 dy . 1 5
1
2nx dx , 其中L为y x 2 例2 计算 lim 2 2 n L 1 n y 从原点O到A(1,1)的一段弧；
0
i 1 L
i 1
1 i n
向量形式
上式也可以写成
L P ( x, y )dx Q( x, y )dy
坐标形式
物理意义：
变力 F ( x , y ) 沿曲线 L 从 A 到对质点所作的功。
定理： 当P ( x , y ), Q( x , y )在光滑曲线弧 L上连
续时, 第二类曲线积分存在 .
3) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则 F dr F dr F dr .
L L1 L2
4) L是与L方向相反的有向曲线弧, 则
F dr F dr
L L
积分路径相反，则第二型曲线积分变号。
当封闭曲线的方向确定后，该封闭曲线上第 二型曲线积分的值与起点的位置无关，记作： F dr
L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
y 解 (1) 化为对x的定积分， x .
B(1,1)
y2 x

L
xydx

AO
0
xydx xydx
OB
1
A(1,1)

1
x ( x )dx x xdx
0
4 2 x dx . 0 5
1
3 2
( 2) 化为对y的定积分，