数学分析第二型曲线积分————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：§2 第二型曲线积分 教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别． 教学重点，难点：重点：第二型曲线积分的定义和计算公式 难点：第二型曲线积分的计算公式 教学内容：第二型曲线积分一 第二型曲线积分的意义在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。

例如一质点受力),(y x F 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F 所作的功(图220-)。

为此在曲线B A )内插入1-n 个分点121,,,-n M M M Λ，与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A )分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i Λ=-，若记小曲线段i i M M 1-的弧长为i s ∆，则分割T 的细度为i ni s T ∆=≤≤1max 。

设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ，那么)),(),,((),(y x Q y x P y x F =。

又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上的投影分别为1--=∆i i i x x x 与1--=∆i i i y y y ，其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 的坐标，记),(1i i M M y x L i i ∆∆=-，于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i i i i i i M M i i i y Q x p L F W i i ∆+∆=⋅≈-),(),(),(1ηξηξηξ,其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点。

因而力),(y x F 沿曲线B A )所作的功近似的等于∑∑∑===∆+∆≈=ni i i i n i i i i n i i y Q x p W W 111),(),(ηξηξ当细度0→T 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。

这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。

定义1 设函数),(y x P 与),(y x Q 定义在平面有向可求长度曲线上。

对L 的任一分割T ，它把L 分成n 个小曲线段),,2,1(1n i M M i i Λ=-其中B M A M n ==,0。

记各小曲线段i i M M 1-的弧长为i s ∆，分割T 的细度i ni s T ∆=≤≤1max 。

又设T 的分点i M 的坐标为),(i i y x ，并记。

在每个小曲线段i i M M 1-上任取一点),(i i ηξ，若极限∑∑=→=→∆+∆ni iiiT ni iiiT yQ xp 11),(lim),(limηξηξ存在且与分割T 与点),(i i ηξ的取法无关，则称此极限为函数),(y x P ，),(y x Q 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分，记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),( )1(上述积分也可写作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(为书写简洁起见，)1(式常简写成⎰+LQdy Pdx 或⎰+ABQdy Pdx若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰+LQdy Pdx)2(若记),()),,(),,((),(dy dx ds y x Q y x P y x F ==，则)1(式可写成向量形式 ⎰⋅Lds F 或⎰⋅ABds F )3(于是，力)),(),,((),(y x Q y x P y x F =沿有向曲线B A L ):对质点所作的功为⎰+=Ldy y x Q dx y x P W ),(),(。

倘若L 为空间有向可求长度曲线，),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 为定义在L 上的函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为⎰++Ldz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(， )4(或简写成⎰++LRdz Qdy Pdx 。

当把)),(),,(),,((),(y x R y x Q y x P y x F =与),,(dz dy dx ds =看作三维向量时，)4(式也可表示成)3(式的向量形式。

第二型曲线积分与曲线L 的方向有关。

对同一曲线，当方向由A 到B 改变为由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变。

从而所得的i i y x ∆∆,也随之改变符号，故有⎰⎰+-=+BAABQdy Pdx Qdy Pdx而第一型曲线积分的被积表达式只是函数),(y x f 与弧长的乘积，它与曲线L 的方向无关。

这是两种类型曲线积分的一个重要区别。

类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些重要性质：1. 若),,2,1(k i dy Q dx P AB i i Λ=+⎰存在，则dy Q c dx P c k i i i Lk i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎰∑--11也存在，且()∑⎰∑⎰∑=--+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛ki Li k i i i L k i i i Qdy Pdx c dy Q c dx P c 111,其中),,2,1(k i c i Λ=为常数。

2. 若有向曲线L 是由有向曲线k L L L Λ,,21首尾相接而成，且),,2,1(k i Qdy Pdx iL Λ=+⎰存在，则⎰+LQdyPdx 也存在, 且∑⎰⎰=+=+ki L LiQdy Pdx Qdy Pdx 1。

二 第二型曲线积分的计算与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算。

设平面曲线⎩⎨⎧==)()(:t y t x L ψϕ，],[βα∈t 其中)(),(t t ψϕ在[]βα,上具有一阶连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为()()()αψαϕ,与()()()βψβϕ,。

又设),(y x P 与),(y x Q 为L 上的连续函数，则沿L 从A 到B 的第二型曲线积分()()()()()()()()[]dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕ,,),(),()6(仿照1中定理1.20的方法分别证明()()()()dtt t t P dx y x P L⎰⎰'=βαϕψϕ,),(，()()()()dt t t t Q dx y x Q L⎰⎰'=βαψψϕ,),(，由此便可得公式)6(，这里不再赘述了。

对于沿封闭曲线的第二型曲线积分)2(的计算，可在L 上任意选取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点。

例1 计算⎰-+Ldy x y xydx )(，其中L 分别沿如图320-中路线(i)直线AB ；(ii)ACB (抛物线：1)1(22+-=x y )； (iii)ADBA (三角形周界) 解 (i)直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 211， ]1,0[∈t 。

故由公式)6(可得()()[]()6252512211)(1210=++=+++=-+⎰⎰⎰dt t t dt t t t dy x y xydx AB。

(ii)曲线ACB 为抛物线21,1)1(22≤≤+-=x x y ，所以()[]()[](){}⎰⎰--+-++-=-+212214112112)(dxx x x x x dy x y xydx ACB()310123532102123=-+-=⎰dx x x x 。

(iii)这里L 是一条封闭曲线，故可从A 开始，应用上段的性质2，分别求沿DB AD ,和BA 上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分。

由于沿直线)21(1,:≤≤==x y x x AD 的线积分为23)(21===-+⎰⎰⎰xdx xydx dy x y xydx ADAD。

沿直线)31(,2:≤≤==y y y x DB 的线积分为0)2()()(31=-=-=-+⎰⎰⎰dy y dy x y dy x y xydx DBDB。

沿直线BA 的线积分可由(i)及公式)5(得到625)()(-=-+-=-+⎰⎰ABBAdy x y xydx dy x y xydx 所以38625023)()(-=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-=-+⎰⎰DBLdy x y dy x y xydx 例2 计算⎰+Lydx xdy ，这里:L (i)沿抛物线22x y =，从O 到B 的一段（图20-4）；(ii)沿直线段x y OB 2:=；(iii)沿封闭曲线OABO 。

解 (i) []23662)4(1212===+=+⎰⎰⎰dx x dx x x x ydx xdy L。

(ii)2214)22(10=⋅=+=+⎰⎰dx x x ydx xdy L。

(iii)在OA 一段上，;10,0≤≤=x y 在AB 一段上，;20,1≤≤=y x 在BO 一段上与(ii)一样是x y 2=从1=x 到0=x 的一段。

所以,001==+⎰⎰oOAdx ydx xdy,2121==+⎰⎰dx ydx xdy AB,2-=+-=+⎰⎰OBBOydx xdy ydx xdy (见(ii))。

因此0220=-+=++=+⎰⎰⎰⎰BOABOALydx xdy 。

对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与)6(式相仿。

设空间有向光滑曲线L 的参量方程为:L ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x βα≤≤t ， 起点为))(),(),((αααz y x ，终点为))(),(),((βββz y x ，则[]⎰⎰'+'+'=++βαdtt z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P Rdz Qdy Pdx L)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((。

)7(这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致。

例3 计算第二型曲线积分 ⎰+-+=Ldz x dy x y xydx I 2)(，其中L 是螺旋曲线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，从0=t 到π=t 上的一段。

解 由公式)7(，()21)cos cos sin cos sin cos (202222223a dt b a t t a t a t t a I t =+-+-=⎰ππ0222332sin 21)1(21sin 21sin 31⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=t t b a t a t aπ)1(212b a +=。