x 2 d1 sin 1 d 2 sin(1 2 ) 1 2 ) y 2 d1 cos1 d 2 cos( d cos( ) x 2 d1 cos1 1 2 )( 1 2 1 2 d sin( )( ) 2 d1 sin 1 1 2 1 2 1 2 y 2 2 2 2 2 v2 x y 2 2 d 2 ( 2 2 2 ) 2d d cos ( 2 v2 d12 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2)
经整理：
D 2 2 T1 D11 1 12 2 D111 1 D122 2 D1121 2 D121 2 1 D1 D D 2 D 2 D D D T D
系统的总动能和总势能：
1 1 2 2 2 2 2 2 m2 d 2 (1 2 K K1 K 2 (m1 m2 )d1 1 1 2 2 ) m2 d1d 2 cos 2 (1 1 2 ) 2 2 1P 2 ( m1 m2 ) gd1 cos 1 m2 gd 2 cos(1 2 ) P P
构造拉格朗日函数L=K-P：
1 2 1 m d 2 ( 2 2 2 ) m d d cos ( 2 (m1 m2 )d12 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2) 2 2 (m1 m2 ) gd1 cos1 m2 gd2 cos( 1 2 ) L K P
拉格朗日函数
q q1
系统总的动能
系统总的势能
q 2 qn 是表示动能和势能的广义
坐标
q 1 q 2 q n 是相应的广义速度 q
机器人系统动能

连杆 i 的动能 K i 为连杆质心线速度引起 的动能和连杆角速度产生的动能之和：
1 1i T i i T K i mi vci vci i I i i 2 2
假设连杆质量用等效连杆末端的点质量表示d1Leabharlann m1 d2 m22
• 连杆1： 1 连杆2： 1 2 2 2 K m d K m v 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 m1 gd1 cos 1 P P2 m2 gy2
(x2, y2)
动力学逆问题：已知轨迹对应的关节位移、速 度和加速度，求出所需要的关节力或力矩；进 而选择设计出能提供足够力及力矩的驱动器。

研究机器人动力学的方法


牛顿——欧拉法（Newton-Euler） 拉格朗日法（Lagrange） 高斯法（Gauss） 凯恩法（Kane） 旋量对偶数法 罗伯逊——魏登堡法（RobersonWittenburg）
研究动力学的目的

动力学正问题与机器人仿真有关；
动力学逆问题是为了实时控制的需要，利用动 力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动 态性能和最优指标； 可利用动力学方程来考察不同惯量负载对机器 人的影响，以及根据期望的加速度来考察某些 负载的重要性。

拉格朗日函数
i ) K P L( q i , q
D122 m2 d1d 2 sin 2 D211 m2 d1d 2 sin 2 D222 0
哥氏加速度系数： D112 D121 m2 d1d 2 sin 2
D212 D221 0
重力项： D1 (m1 m2 ) gd1 sin 1 m2 gd 2 sin( 1 2 )
D2 m2 gd 2 sin( 1 2 )
作业

平面 RP机器人如图所示，用拉格朗日方法 求其动力学方程。
第9讲 机器人动力学
机器人动力学问题

机器人动态性能不仅与运动学相对位置有关， 还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构 的位置、传动装置等因素有关。
机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究物体运动和受力之间的关 系。

机器人动力学问题

动力学正问题：根据关节驱动力或力矩计算机 器人的运动（关节位移、速度和加速度），即 研究机器人手臂在关节力矩作用下的动态响应。
拉格朗日方程
d L L i i qi dt q

(i 1,2,..., n)
i 是广义力，代表 n 个关节的驱动力或 力矩；若 i 是移动关节， i 就是力，若 i i 就是力矩。 是转动关节，
y x
1
(x1, y1)
例1
• 先求刚体的动能与位能（旋转式运动）
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
T2
d L L 2 m d 2 m d d sin 2 (m2 d 2 m2 d1d 2 cos 2 ) 1 2 2 2 2 1 2 2 1 dt 2 2 m2 gd 2 sin( 1 2 )
Fi
d L L , i 1,2,..., n i qi dt q d L L , , dt 1 1 d L L , dt 2 2
求取
代入拉格朗日方程式
T1
d L L 2 (m d 2 m d d cos ) [( m1 m2 )d12 m2 d 2 2m2 d1d 2 cos 2 ] 1 2 2 2 1 2 2 2 dt 1 1 m d d sin 2 (m m ) gd sin m gd sin( ) 2m d d sin
D1 D121 1 2 D221 21 D2
2 2 D ( m m ) d m d 2m2 d1d 2 cos 2 11 1 2 1 2 2 有效惯量： 2 D22 m2 d 2
2 耦合惯量： D12 D21 m2 d 2 m2 d1d 2 cos 2 向心加速度系数： D111 0

系统总动能为 n 个连杆动能之和：
K Ki
i 1 n
机器人系统势能
设连杆 i 的势能为 Pi ，连杆 i 的质心在 0坐标系中的位置矢量为 Pci ，重力加速度 矢量在 0坐标系中为 g ，则

Pi mi g Pci
T

机器人系统的势能为各连杆势能之和：
P Pi
i 1 n
D1 D121 1 2 D221 21 D2
重力
惯量
向心加速度系数
哥氏加速度系数
D111 D122 2 D112 T1 D11 D12 1 1 T D 2 2 21 D22 2 D211 D222 2 D212
2 21 1 22 2 211 1 222 2 212 1 2 221 2 1
2
T1 D11 T D 2 21
力矩
D111 D12 1 D22 2 D211
2 D112 D122 1 2 D222 2 D212