y x
θ1
(x1, y1) d1 m1
例1
• 先求刚体的动能与位能（旋转式运动） 先求刚体的动能与位能（旋转式运动） 假设连杆质量用等效连杆末端的点质量表示 • 连杆1： 1 连杆2： 1 2 ɺ2 2 K1 = m d1 θ1 K2 = m2v2 1 2 2 P = −m gd1 cosθ1 P = m2 gy2 1 1 2
力矩 惯量 向心加速度系数 哥氏加速度系数 重力
ɺɺ ɺ ɺɺ D θ12 D D θ1θ2 D T D D θ1 D 1 11 12 111 122 112 121 = + + + 1 ɺ2 ɺ ɺ T D D ɺɺ D D222θ2 D212 D221θ2θ1 D2 θ 22 2 211 2 21
2 D = (m + m2 )d12 + m2d2 + 2m2d1d2 cosθ2 11 1 有效惯量： 2 D22 = m2d2
2 D 耦合惯量： 12 = D21 = m2d2 + m2d1d2 cosθ2 向心加速度系数： D111 = 0
D = −m2d1d2 sin θ2 122 D211 = m2d1d2 sin θ2 D222 = 0
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
T2 =
d ∂L ∂L 2 2ɺ ɺ ɺ − = (m2d2 + m2d1d2 cosθ2 )θɺ + m2d2θɺ + m2d1d2 sin θ2θ12 1 2 ɺ dt ∂θ2 ∂θ2 + m2 gd2 sin(θ1 +θ2 )
Fi =
d ∂L ∂L − , i =1,2,..., n ɺ dt ∂qi ∂qi d ∂L ∂L d ∂L ∂L , , , ɺ ɺ dt ∂θ1 ∂θ1 dt ∂θ2 ∂θ2
求取
代入拉格朗日方程式
T= 1
d ∂L ∂L 2 2 ɺɺ ɺɺ − = [(m + m2 )d12 + m2d2 + 2m2d1d2 cosθ2 ]θ1 + (m2d2 + m2d1d2 cosθ2 )θ2 1 ɺ ∂θ dt ∂θ1 1 ɺɺ ɺ − 2m d d sin θ θ θ − m d d sin θ θ 2 + (m + m )gd sin θ + m gd sin( θ +θ )
拉格朗日函数
ɺ L(qi , qi ) = K − P
拉格朗日函数
q = [q1
系统总的动能
系统总的势能
q 2 ⋯ q n ]是表示动能和势能的广义
坐标
ɺ ɺ q = [q1 ɺ ɺ q 2 ⋯ q n ] 是相应的广义速度
机器人系统动能
连杆 i 的动能 K i 为连杆质心线速度引起 的动能和连杆角速度产生的动能之和：
构造拉格朗日函数L=K-P：
1 2 ɺ ɺ 1 ɺ ɺ ɺ2 ɺ ɺɺ L = K − P = (m + m2 )d12θ12 + m2d2 (θ12 + 2θ1θ2 +θ2 ) + m2d1d2 cosθ2 (θ12 +θ1θ2 ) 1 2 2 + (m + m2 )gd1 cosθ1 + m2 gd2 cos(θ1 +θ2 ) 1
2 21 1 22 2 211 1 222 2 212 1 2 221 2 1
2
ɺɺ ɺ ɺɺ D θ12 D D θ1θ2 D T D D θ1 D 111 122 112 121 1 11 12 = + + + 1 ɺ2 ɺ ɺ T D D ɺɺ D θ2 211 D222θ2 D212 D221θ2θ1 D2 22 2 21
哥氏加速度系数： D = D = −m2d1d2 sin θ2 112 121
D212 = D221 = 0
重力项： D1 = (m1 + m2 )gd1 sin θ1 + m2 gd2 sin(θ1 +θ2 ) D2 = m2 gd2 sin(θ1 +θ2 )
作业
平面 RP机器人如图所示，用拉格朗日方法 求其动力学方程。
θ2
d2 m2
(x2, y2)
x 2 = d1 sin θ1 + d 2 sin(θ1 + θ 2 ) y 2 = − d1 cos θ1 − d 2 cos(θ1 + θ 2 ) ɺ ɺ ɺ x 2 = d1 cos θ1θ1 + d 2 cos(θ1 + θ 2 )(θ1 + θ 2 ) ɺ ⇒ ɺ ɺ ɺ ɺ y 2 = d1 sin θ1θ1 + d 2 sin(θ1 + θ 2 )(θ1 + θ 2 ) 2 ɺ2 ɺ2 v2 = x2 + y 2 2 2 ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ⇒ v 2 = d 12θ12 + d 2 (θ12 + 2θ1θ 2 + θ 22 ) + 2d1 d 2 cos θ 2 (θ12 + θ1θ 2 )
经整理：
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ T1 = D11θɺ + D12θɺ2 + D111 θ12 + D122 θ 22 + D112θ1θ 2 + D121θ 2θ1 + D1 1 ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ T = D θɺ + D θɺ + D θ 2 + D θ 2 + D θ θ + D θ θ + D
Pi = − mi g Pci
T
机器人系统的势能为各连杆势能之和：
P = ∑ Pi
i =1 n
拉格朗日方程
d ∂L ∂L − =τi ɺ dt ∂q i ∂q i (i = 1,2,..., n)
τ i 是广义力，代表 n 个关节的驱动力或 力矩；若 i 是移动关节，i 就是力，若 i τ τ 是转动关节， i பைடு நூலகம்是力矩。
系统的总动能和总势能：
1 1 2 ɺ2 2 ɺ2 ɺ ɺ ɺ2 ɺ2 ɺ ɺ K = K1 + K2 = (m + m2 )d1 θ1 + m2d2 (θ1 + 2θ1θ2 +θ2 ) + m2d1d2 cosθ2 (θ1 +θ1θ2 ) 1 2 2 P = P + P = −(m + m2 )gd1 cosθ1 − m2 gd2 cos(θ1 +θ2 ) 1 2 1
1 1i T i i T K i = mi v ci v ci + ω i I i ω i 2 2
系统总动能为 n 个连杆动能之和：
K = ∑ Ki
i =1 n
机器人系统势能
设连杆 i 的势能为 Pi ，连杆 i 的质心在 {0}坐标系中的位置矢量为 Pci ，重力加速度 矢量在 {0}坐标系中为 g ，则
研究机器人动力学的方法
牛顿——欧拉法（Newton-Euler） 拉格朗日法（Lagrange） 高斯法（Gauss） 凯恩法（Kane） 旋量对偶数法 罗伯逊——魏登堡法（RobersonWittenburg）
研究动力学的目的
动力学正问题与机器人仿真有关； 动力学逆问题是为了实时控制的需要，利用动 力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动 态性能和最优指标； 可利用动力学方程来考察不同惯量负载对机器 人的影响，以及根据期望的加速度来考察某些 负载的重要性。
第9讲 机器人动力学
机器人动力学问题
机器人动态性能不仅与运动学相对位置有关， 还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构 的位置、传动装置等因素有关。 机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究物体运动和受力之间的关 系。
机器人动力学问题
动力学正问题：根据关节驱动力或力矩计算机 器人的运动（关节位移、速度和加速度），即 研究机器人手臂在关节力矩作用下的动态响应。 动力学逆问题：已知轨迹对应的关节位移、速 度和加速度，求出所需要的关节力或力矩；进 而选择设计出能提供足够力及力矩的驱动器。