浙江专升本高等数学真题IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】2018年浙江专升本高数考试真题答案一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
1、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,,sin )(x x xx x x f ，则)(x f 在)1,1(-内（C ）A 、有可去间断点B 、连续点C 、有跳跃间断点D 、有第二间断点解析：1sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xxx f x x f x x x x )(lim )(lim 0x f x f x x +-→→≠ ，但是又存在，0=∴x 是跳跃间断点2、当0→x 时，x x x cos sin -是2x 的（D ）无穷小 A 、低阶 B 、等阶 C 、同阶D 、高阶 解析：02sin lim 2sin cos cos lim cos sin lim 0020==+-=-→→→xx x x x x x x x x x x x ⇒高阶无穷小3、设)(x f 二阶可导，在0x x =处0)(0<''x f ，0)(lim 0=-→x x x f x x ，则)(x f 在0x x =处（B ）A 、取得极小值B 、取得极大值C 、不是极值D 、())(0,0x f x是拐点解析：0000)()(lim )(,0)(lim00x x x f x f x f x x x f x x x x --='∴=-→→ ，则其0)(,0)(00=='x f x f ，0x 为驻点，又000)(x x x f =∴<'' 是极大值点。
4、已知)(x f 在[]b a ,上连续，则下列说法不正确的是（B ） A 、已知⎰=ba dx x f 0)(2，则在[]b a ,上，0)(=x fB 、⎰-=xx x f x f dt t f dxd 2)()2()(，其中[]b a x x ,2,∈ C 、0)()(<⋅b f a f ，则()b a ,内有ξ使得0)(=ξfD 、)(x f y =在[]b a ,上有最大值M 和最小值m ，则⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(解析：A.由定积分几何意义可知，0)(2≥x f ，dx x f ba)(2⎰为)(2x f 在[]b a ,上与x 轴围成的面积，该面积为0⇒0)(2=x f ，事实上若)(x f 满足)(0)(0)(b x a x f dx x f ba≤≤=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⎰非负连续 B. 有零点定理知结论正确C. 由积分估值定理可知，()b a x ,∈，M x f m ≤≤)(， 则)()()()(a b M dx x f a b m Mdx dx x f mdx babababa-≤≤-⇒≤≤⎰⎰⎰⎰5、下列级数绝对收敛的是（C ）A 、∑∞=-+-111)1(n n n B 、∑∞=-+-11)1ln()1(n n n C 、∑∞=+139cos n n n D 、∑∞=11n n解析：A.1111lim=+∞→nn n ，由∑∞=11n n 发散11+⇒n 发散 B. 011lim )1ln(lim )1ln(11lim =+=+=+∞→∞→∞→n n n n n n n n ，由∑∞=11n n 发散∑∞=+⇒1)1ln(1n n 发散 C.919cos 22+≤+n n n ，而232191limn n n +∞→=1，由∑∞=1231n n 收敛⇒912+n 收敛⇒9cos 2+n n 收敛D. ∑∞=11n n发散二、填空题6、a xx e x a =+→1)sin 1(lim解析：a xa x a xx a x a xx xx e ee ex a x x ====+⋅+++→→→→1cos sin 11lim )sin 1ln(lim )sin 1ln(11000lim )sin 1(lim7、3sin )23()3(lim=--→xx f f x ，则23)3(='f解析：3)3(22)3()23(lim 2sin )23()3(lim00='=---=--→→f xf x f x x f f x x8、若常数b a ,使得5)(cos sin lim 20=--→b x ae xx x ，则9-=b解析：5)(cos lim )(cos sin lim 2020=--=--→→ae b x x b x a e x x x x x 所以根据洛必达法则可知：1,01==-a a9、设⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(，则11==t dx dy解析：2221)1(11111t t t tt dtdxdt dydx dy++=++-=，11==t dx dy10、)(x f y =是0122=--y x 所确定的隐函数，则32222yx y dx y d -= 解析：方程两边同时求导，得：022='-y y x ，yx y ='， 方程022='-y y x 同时求导，得：0)(12=''-'-y y y ，将yxy ='带入， 则得，0)(12=''--y y yx ，32232221y x y y x y y dx y d -=-=''= 11、求21x xy +=的单增区间是)1,1(- 解析：2222222)1(1)1(21x x x x x y +-=+-+=' 令0>'y ，则12<x ，11<<-x12、求已知⎰+=C e dx x f x 2)(，则=⋅∑==∞→)(1lim 10n kf nn k n 1-e解析：1)()()()(1lim 101010102-=+===⋅⎰⎰∑==∞→e C e dx x f dx x f n kf nx n k n 解析：1ln 1ln )(ln 1)(ln 122=-==∞++∞+∞⎰⎰ee exx d x dx x x13、由2x y =：2,1==x y 围成的图形面积为34解析：34)31()1(212132=-=-=⎰x x dx x A14、常系数齐次线性微分方程02=+'-''y y y 的通解为x e x C C y )(21+=（21C C 为任意常数）解析：特征方程：0122=+-r r ，特征根：121==r r 通解为x e x C C y )(21+=（21C C 为任意常数）三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）16、求)sin 1ln(lim 0x e e xx x +--→解析：22lim sin 2lim )sin 1ln(1lim )sin 1ln(lim00200===+-=+-→→-→-→xx x x x e e x e e x x x xx x x x 17、设x x x y )sin 1()(+=，求)(x y 在π=x 处的微分解析：x x x y )sin 1()(+=将π=x 代入上式，得微分dx dy π-= 18、求⎰-π502cos 1dx x解析：⎰-π502cos 1dx x ⎰=π50|sin |dxx19、求dx x ⎰arctan解析：2t x t x ==，则令，tdtdx 2=解析：41cos x x x + 为奇函数，20、已知⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,2)(x ax x b x x f 在0=x 处可导，求b a ,解析：21、求过点)1,2,1(-A 且平行于0732=-+-z y x 又与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=t z t y t x 231相交的直线方程。
直线过点)1,2,1(-A ，因为直线平行于平面，所以n S ⊥，)1,3,2(-=n，设两条直线的交点)2,3,1(t t t P +-，所以)12,1,(-+==→t t t PA S ，所以012332=-+--t t t ，4=t ，)8,7,3(P ，所以)7,5,4(=→PA ，所以直线方程为715241-=-=+z y x 。
23、讨论13231)(23++-=x x x x f 极值和拐点解析：13231)(23++-=x x x x f（1）)(x f 的极值令0)('=x f ，则3,121==x x 列表如下： 所以极大值为3713231)1(=++-=f ，极小值1)3(=f （2）)(x f 的拐点42)(-=''x x f 令0)(=''x f 则2=x列表如下： 点为⎪⎭⎫ ⎝⎛35,2。
拐四、综合题（本大题共3大题，每小题10分，共30分）24、利用n n n x x ∑∞=-=+0)1(11， （1）将函数)1ln(x +展开成x 的幂级数 （2）将函数)3ln(x +展开成2-x 的幂级数解析：（1）令)1ln()(x x f +=，xx f +='11)(，当)1,1(-∈x 时，n n n x x ∑∞--=+0)1(11 当1-=x 时，级数发散；当1=x 时，级数收敛，故收敛域为(]1,1-。
（2）)521ln(5ln )]521(5ln[)]2(5ln[)3ln(-++=-+=-+=+x x x x 其中，731521≤<-⇒≤-<-x x 。
25、)(x f 在[)∞+，1上导函数连续，0)(>x f ，已知曲线)(x f 与直线)1(,1>==t t x x 及x =1（1>t ）及x 轴所围成的去边梯形绕x 轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的t π倍，求)(x f解析：⎰=tdx x f S 1)(，dx x f V t)(12⎰=π由题意知，⎰⎰=ttdx x f t dx x f 112)()(ππ，求导得，得)()()(12t tf dx x f t f tπππ+=⎰再求导，得)()()()()(2t f t t f t f t f t f '++='ππππ即)()(2)()(2t f t f t f t t f '='+，则y y y t y '='+22，y t y y '-=)2(2，dydty t y =-22， 121=+t y dy dt ，y y P 21)(=，1)(=y Q ，)32(1)(23121121C y y C dy e e t dy ydy y +=+⎰⎰=⎰-, 由1)1()1()1(2=⇒=f f f ，带入得31=C ，故曲线方程为yy x 123+=。