基于MATLAB工具箱的机械优化设计
长江大学机械工程学院机械11005班刘刚
摘要：机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法，能从众多的设计方案中找出最佳方案，从而大大提高设计效率和质量。
本文系统介绍了机械优化设计的研究内容及常规数学模型建立的方法，同时本文通过应用实例列举出了MATLAB 在工程上的应用。
关键词：机械优化设计；应用实例；MATLAB工具箱；优化目标
优化设计是20世纪60年代随计算机技术发展起来的一门新学科, 是构成和推进现代设计方法产生与发展的重要内容。
机械优化设计是综合性和实用性都很强的理论和技术, 为机械设计提供了一种可靠、高效的科学设计方法, 使设计者由被动地分析、校核进入主动设计, 能节约原材料, 降低成本, 缩短设计周期, 提高设计效率和水平, 提升企业竞争力、经济效益与社会效益。
国内外相关学者和科研人员对优化设计理论方法及其应用研究十分重视, 并开展了大量工作, 其基本理论和求解手段已逐渐成熟。
国内优化设计起步较晚, 但在众多学者和科研人员的不懈努力下, 机械优化设计发展迅猛, 在理论上和工程应用中都取得了很大进步和丰硕成果, 但与国外先进优化技术相比还存在一定差距, 在实际工程中发挥效益的优化设计方案或设计结果所占比例不大。
计算机等辅助设备性能的提高、科技与市场的双重驱动, 使得优化技术在机械设计和制造中的应用得到了长足发展, 遗传算法、神经网络、粒子群法等智能优化方法也在优化设计中得到了成功应用。
目前, 优化设计已成为航空航天、汽车制造等很多行业生产过程的一个必须且至关重要的环节。
一、机械优化设计研究内容概述
机械优化设计是一种现代、科学的设计方法, 集思考、绘图、计算、实验于一体, 其结果不仅“可行”, 而且“最优”。
该“最优”是相对的, 随着科技的发展以及设计条件的改变, 最优标准也将发生变化。
优化设计反映了人们对客观世界认识的深化, 要求人们根据事物的客观规律, 在一定的物质基和技术条件下充分发挥人的主观能动性, 得出最优的设计方案。
优化设计的思想是最优设计, 利用数学手段建立满足设计要求优化模型; 方法是优化方法, 使方案参数沿着方案更好的方向自动调整, 以从众多可行设计方案中选出最优方案; 手段是计算机, 计算机运算速度极快, 能够从大量方案中选出“最优方案“。
尽管建模时需作适当简化, 可能使结果不一定完全可行或实际最优, 但其基于客观规律和数据, 又不需要太多费用, 因此具有经验类比或试验手段无可比拟的优点, 如果再辅之以适当经验和试验, 就能得到一个较圆满的优化设计结果。
传统设计也追求最优结果, 通常在调查分析基础上, 根据设计要求和实践
经验, 参考类似工程设计, 通过估算、经验类比、试验, 以及构思、评价、再构思、再评价的寻优过程来确定设计方案, 再进行强度、刚度、稳定性等方面的计算。
但由于主观因素、时间限制、工作量过大等原因, 往往无法确认结果的最优性, 其计算也只起校核及补充细节的作用, 仅仅证实原方案的可行性。
实践证明, 传统设计结果都有改进提高的余地, 做大量试验反复比较固然比较真实可靠, 但常要花费太多的资金和人力, 且最终结果基本上跑不出初始设计的试验范围。
因此, 传统设计仅是主观上追求最优结果, 得到的仅是满足要求的设计而非最优设计。
二、机械优化设计数学模型的建立
优化设计的数学模型包括优化设计三要素，即设计变量、约束函数和目标函数。
1）设计变量
设计变量是一组彼此独立的设计参数; 其个数称为优化设计的维数。
一般情况下, 为使问题简单化, 应尽量减少设计变量个数, 将那些对设计指标影响比
较大的设计参数定为设计变量。
若几个设计变量用X
1, X
2
(X)
n
表示, 可把它
们看作一个矢量X, 则可用矩阵的形式表示为X = [X
1 X
2
.. ..X
n
]T。
2)约束条件
在优化设计过程中, 设计变量的取值通常不是任意的, 总要受到某些实际条件的限制, 这些限制条件称为约束条件或约束函数。
约束条件一般分为边界约束和性能约束。
约束按其数学表达式形式又可分为不等式约束和等式约束, 写成统一的格式为:
gi( x )≤0或g i( x ) ≥0 ( i= 1, 2, .., n) hj(x ) = 0 ( j= m + 1, m + 2,...P )
m 代表不等式约束的个数；( p - m )代表等式约束的个数。
3)目标函数
目标函数也称评价函数,它是评价设计方案优劣的标准。
例如, 质量最轻, 体积最小等结构指标；效率最高,可靠性最好等性能指标以及成本最低,生产率最高等经济指标等等。
这些设计指标可以表示成为设计变量的函数, 称为目标函数,F(x) = F(x1,x2...xn ),可将最佳值统一定为目标函数的极小值即F(x)=min。
三、求解优化问题的基本思路和方法
求解优化问题可以用解析法和数值迭代方法。
解析法是利用数学解析法(如微分、变分等方法)来求解。
数值迭代方法则是利用函数在某一局部区域的某些性质和函数值,采用某种算法逐步逼近到函数极值点的方法。
首先从某一初始点
X(0)出发, 按照某种优化方法所规定原则,确定适当的搜索方向d(0), 计算最佳步长a(0)。
求目标函数的极值点,即获得一个新的设计点X (1)；然后, 再从X(1)点出发, 重复上述过程, 获得第二个改进设计点X(2)。
如此迭代下去, 可得X(3)，X(4)..., 最终得到满足设计精度要求的逼近理论最优点的近似最优点X。
四、常用优化设计可选优化目标
在工程设计问题中,追求的目标可各种各样, 按追求目标的多少, 可分为单目标函数和多目标函数。
如设计多级齿轮传动系统时, 要求在满足规定的传动比和给定最小齿轮直径的情况下, 追求系统的转动惯量最小,箱体的体积最小,各级传动的中心距之和最小,承载能力最高, 寿命最长等。
目标函数作为评方案中的一个标准,有时不一定有明显的物理意义和量纲,它只是设计指标的一个代表值。
正确地建立目标函数是优化设计中很重要的工作, 它既要反映用户的要求, 又要敏感地、直接地反映设计变量的变化, 对优化设计的质量及计算难易都有一定的影响。
表1列出了常用的优化设计问题中可供选择的优化目标。
五、应用举例
试对如图1所示的结构进行优化设计, 已知主轴內径d=30mm, 外力F=1500N, 许用挠度Y=0.005mm, 设计变量数n=3, 约束函数个数m=5, 收敛精度ε1=10-5, ε2=10-5, 初始惩罚因子r 0 = 2, 惩罚因子缩减系数c= 0.2。
设计变量的初值、
上下限列于表2中。
解: 当主轴材料选定时,其设计方案由孔径D,跨距及外伸端长度决定。
由于机床主轴内孔常用于通过待加工的棒料,其大小由机床型号决定,不能作为设计变量。
故设计变量取为:
x=[x 1 x 2 x 3]T =[l D a]T ,机床主轴优化设计的目标函数为
f(x)=14
πρ(x 1+x 3)(x 22-d 2
) 式中 ρ——材料的密度 再确定约束条件，主轴刚度是一种重要性能指标，其外伸端的挠度y 不得超过规定值y 0，据此建立性能约束g(x)=y-y 0≤0
在外力F 给定的情况下，y 是设计变量y 0的函数，其值按下式计算
y=
Fa 2(l +a )3EI 式中I=π64（D 4—d 4），则g(x)=64Fx 32(x 1+x 3)
3πE (x 24−d 4)-y 0≤0
此外通常还应考虑主轴最大应力不得超过许用应力，边界约束条件为设计变量的取值范围，即l min ≤l ≤l max , D min ≤D ≤D max , a min ≤a ≤a max 。
综上所示，将所有约束函数规范化，主轴优化设计的数学模型可表示为：
min f(x)=14πρ(x 1+x 3)(x 22-d 2) g 1(x)= 64Fx 32(x 1+x 3)3πE (x 24−d 4)/y0-1≤0
g 2(x)=1-x 1/l min ≤0
g 3(x)=1-x 2/D min -1≤0
g 4(x)=x 2/D max -1≤0
g 5(x)=1-x 3/a min ≤0
该问题用内点惩罚函数法解，代入已知数据后，经17次迭代计算收敛，求得最优解
x *=[300036 75244 90001]T
f(x *
)=11.377
应当指出，优化设计计算结束时，惩罚因子缩小到r=1.311x10-11，可见惩罚函数中的障碍实际已经消失，惩罚函数值非常接近原目标函数值。
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