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：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？ 提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应
的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2. 在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n ＝p＋q＝2k，如非零常数列．
自学导引
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为q. (1)两项关系：an＝_a_m_q_n_－_m_(m，n∈N*)． (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝_a_p_a_q. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数 列． 2．等比数列的项的对称性
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题型二 灵活设项求解等比数列
【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等 比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与 第三个数的和是12，求这四个数． [思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知 数，结合题中条件求解即可． 解 法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2，
故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造
住房面积的比例首次大于85%.
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本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数 列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的 哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意 首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．
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(2)若存在 m，使 b1，b4，bt 成等差数列， 则 2b4＝b1＋bt， ∴7＋7 m×2＝1＋1 m＋2t－2t－1＋1 m， ∴t＝7mm－＋51＝7mm－－55＋36＝7＋m3－6 5，(9 分) 由于 m、t∈N*且 t≥5. 令 m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即 m＝41,23,14,11,9,8,7,6 时，t 均为大于 5 的整数． ∴存在符合题意的 m 值，且共有 8 个数．(12 分)
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
解得da＝＝44， 或ad＝ ＝－9，6.
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所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 法二 设四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(a≠0)，
合理地设出所求数中的三个，根据题意得 出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数 成等比数列，可设为qa，a，aq；三个数成等差数列， 可设为 a－d，a，a＋d.
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【变式2】 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三 个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 解 设三个数依次为aq，a，aq， ∵qa·a·aq＝512，∴a＝8. ∵aq－2＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝12， ∴这三个数为 4,8,16 或 16,8,4.
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(2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式
的最小正整数n＝6.
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【变式1】 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝ 20，求a11的值．
(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的 值．
解 (1)在等比数列{an}中， ∵a1·a9＝a3·a7， ∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得：
整理，得 2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝21.
∴ aq＝1＝21，
a1＝4， 或q＝21.
∴an＝2n－1 或 an＝23－n
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在等比数列的有关运算中，常常涉及到 次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建 立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例 可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换， 会起到化繁为简的效果．
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两 项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·_a_n_－_1_
＝ak·_a_n－__k_＋_1_＝
(n 为正奇数)．
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3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为_q_的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为_q_2的等比数列； 偶数项数列{a2n}是公比为_q_2的等比数列； (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新 数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
第2课时 等比数列的性质及应用
【课标要求】 1．理解等比数列的性质并能应用． 2．了解等比数列同指数函数间的关系． 3．会用等比数列的性质解题． 【核心扫描】 1．等比数列的性质及应用．(重点) 2．等比数列与等差数列的综合应用．(重点) 3．与函数、方程、不等式等结合命题．(难点)
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(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1q2的等比数列． (3)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an}是 公差为lg q的等差数列．
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题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． [思路探索] 应用等比数列的性质：a2a4＝a32，a4a6＝a52， a1a3＝a22，化简已知，可求解． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，
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解 (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是 等差数列，其中a1＝250，d＝50， 则 Sn＝250n＋nn2－1×50＝25n2＋225n；
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0， 解得n≤－19或n≥10，而n是正整数． ∴n≥10. 故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首 次不少于4 750万平方米．
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【变式3】 始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经 演变为全球金融危机．受此拖累，国际原油价格从2008年 7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美 元．你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此 计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)? 解 设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等 比数列{an}，记：a1＝147(7月份价格)， 则8月份价格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)； 9月份价格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2. ∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%. 设an＝34，则34＝147·(1－18.8%)n－1， 解得n＝8. 即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价 格将跌至34美元每桶．
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题型三 等比数列的实际应用
【例3】某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米 是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房 面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低 价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底 (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的 第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于85%. [思路探索]本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通 过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等 比数列．
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∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 法二 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a32＋2a3a5＋a52＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6. (2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2. 设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列；
③数列a1n是公比为q1的等比数列；
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④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列． 特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{anm}(m是实 数常数)是公比为qm的等比数列．
a3＝4， a7＝16，
或aa37＝＝146. ，
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3. ∴取 a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4. ∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
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