自测自评
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解析：利用等比数列的定义验证即可． 答案：A
2．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋ a4a6＝25，那a3＋a5的值等于( )
A．5
B．10
C．15
D．20
解析：a2a4＝a23，a4a6＝a52，故得(a3＋a5)2＝25， ∴a3＋a5＝±5，又 an＞0， 即 a3＋a5＝5. 答案：A
从而a1＋a3＝5， a1a3＝4.
解之，得 a1＝1，a3＝4 或 a1＝4，a3＝1， 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n. 法二：由等比数列的定义知 a2＝a1q， a3＝a1q2，代入已知得
法二：由等比数列的定义知 a2＝a1q， a3＝a1q2，代入已知得
解析：在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6.① 又 a4＋a14＝5.② 由①、②组成方程组得
a4＝2，
或a4＝3，
a14＝3
a14＝2.
∵aa2100＝aa144＝23或32.
答案：C
等比数列的性质
求an.
已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，
解析：法一：∵a1a3＝a22， ∴a1a2a3＝a32＝8，∴a2＝2，
1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得 出一些等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性 质更重要．
2．适当记忆一些性质利用性质提高解题速度与解 题的正确率，如用等比数列的性质：若m＋n＝p＋k，则 aman＝apak，可以解决许多相关问题．
3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常 遇到，要准确判断用好定义与通项公式．
跟踪训练
2.三个正数成等差数列，它们的和等于 15，如果它们分 别加上 1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
解析：设所求之数为 a－d，a，a＋d，则由题设得 a－d＋a＋a＋d＝15， a＋32＝a－d＋1a＋d＋9. 解此方程组得ad＝＝52，. ∴所求三数为 3,5,7.
等比数列的实际应用
分析：这是一道数学应用题．解决应用问题的关键是建
立数学模型，使实际问题数学化．注意到开始浓度为1，操
作一次后溶液浓度是a1＝1－
1 a
.操作二次后溶液浓度是a2＝
a1 1－1a ， …，操作n次后溶液浓度是an＝an－11－1a .则不难
发现，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数
列模型．解决数列问题，便可能达到解决实际问题之目的．
解析：设每次操作后溶液浓度为数列{an}，则问题即 为求数列的通项an＝f(n)．
依题意，知原浓度为 1，a1＝1－1a，a2＝a11－1a，…，
an＝an－11－1a.
{an}构成以首项 a1＝1－1a，公比 q＝1－1a的等比数列，
所以，an＝a1qn－1＝1－1a1－1an－1＝1－1an， 故第 n 次操作后酒精浓度是1－1an， 当 a＝2 时，由 an＝12n＜110，得 n≥4.
a1＋a1q＋a1q2＝7， a1·a1q·a1q2＝8
⇒aa131q13＋＝q8＋q2＝7，
⇒a11＋q＋q3＝7，
①
a1q＝2.
②
将 a1＝2q代入①得 2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2，或 q＝12.
由②得a1＝1， q＝2
a1＝4， 或q＝12.
以下同法一．
法三：由等比数列的概念可知 a1＝aq2，a3＝a2q. 代入 a1a2a3＝8，得 a2＝2，∴a1＝2q， a3＝2q， 代入 a1＋a2＋a3＝7，得2q＋2＋2q＝7， 可解得 q＝2，或 q＝12，以下同法一．
面两项的和，则公比是( D )
5 A. 2
B．－
5 2
1－ 5 C. 2
－1＋ 5 D. 2
解析：设其中三项为 an，an＋1，an＋2(n∈N*)，公比为 q， 则有 an＝an＋1＋an＋2，即 an＝anq＋anq2，
∴q2＋q－1＝0.∴q＝－12±
5 .
∵各项都为正数，∴q＝－1＋2
5 .
求成等比数列或等差数列的部分项
已知 a，b，c，x，y，z 都是不等于 1 的正数，且 ax＝by ＝cz，如果1x，1y，1z成等差数列，求证：a，b，c 成等比数列．
证明：证法一：∵ax＝by，∴bax＝bx－y. ∴ba＝bx－x y＝b1－yx＝(by)1y－1x. 同理∵by＝cz，∴bc＝(by)1z－1y. ∵1x，1y，1z成等差数列， ∴1y－1x＝1z－1y，∴ba＝bc. ∴a，b，c 成等比数列．
某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到 2012年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年比上一年增 长的百分率相同，这个百分率是多少？2011年生产这种零件多少 万件？
解析：设每一年比上一年增长的百分率为x，则从2010年起， 连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即 a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2成等比数列．
因此，至少应操作 4 次后，才能使酒精浓度低于 10%.
点评：数学应用问题的解答步骤：一、通过阅读， 理解题意，建立数学模型；二、通过解决数学问题，解 决实际问题；三、回答实际问题．
解析：设等比中项为 b，则 b2＝( 2＋1)·( 2－1)＝1， ∴b＝±1，故选 C. 答案：C
2．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后
证法二：令 ax＝by＝cz＝t，
∴t≠1，∴lg t≠0.
∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct.
∴1x＝llgg
at ，1y＝llgg
bt ，1z＝llgg
c t.
∵1x＋1z＝2y，∴llgg at＋llgg ct＝2llgg tb，
∴b2＝ac，∴a，b，c 成等比数列．
注：证法二更自然有效．
3．（1）若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则 {an·bn}、abnn 是_等__比__数__列___． 练习3：已知等比数列{an}通项公式为：an＝3n－1，等比数列 {_们b_n_都}_通_是_项_：_公____式，__为数__：列__b_n_＝ab.nn2n－的1则通数项列公{式an·为bn：}的cn通＝项__公__式__为__：，它
跟踪训练
1．已知等比数列{an}，
1 (1)若a2＝4，a5＝－ 2 ，求通项公式；
(2)若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
解析：∵a5＝a2q3， ∴q3＝aa52＝－421＝－18. ∴q＝－12，∴a1＝aq2＝－8，
∴an＝a1qn－1＝－12n－4.
(2)由 a3a4a5＝8 得 a43＝8，∴a4＝2， ∴a2a3a4a5a6＝a45＝32.
由100(1＋x)2＝121，得(1＋x)2＝1.21. ∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1. ∴x＝0.1或x＝－2.1(舍去)． a2＝100(1＋x)＝110(万件)， 所以每年增长的百分率为10%，
2011年生产这种零件110万件．
跟踪训练
3．从盛满a升(a＞1)纯酒精的容器里倒出1升，然后填 满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下 去．问第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应 倒几次后才能使酒精浓度低于10%?
2．（1）既是等差又是等比数列的数列是： ___________.
练习2：写出一个既是等差又是等比数列的数列： ________________.
答案：1．an＝a1·qn－1(a1·q≠0) an＝am·qn－m(a1·q≠0) 练习1：an＝6·3n－3 2．非零常数列
练习2：2,2,2,2,2，…(答案不唯一)
4．（1）等比数列的性质：若m＋n＝p＋k，则 __________；若2n＝p＋k，则____________．
练习4：已知等比数列{an}中，a3a5＝12，则a2a6＝______， ＝______.
答案 ：练习3：kn＝6n－1 4．aman＝4：12 12
数列
等比数列的性质
1．掌握等比数列定义和通项公式．
2．探索发现等比数列的性质，并能应用性 质灵活地解决一些实际问题．
基础梳理 1．（1）等比数列的通项公式：___________________.
等比数列的通项推广公式：___________________.
练习1：已知等比数列{an}中a3＝6，公比q＝3，则其通 项公式为：____________.