课时作业(二十四)
一、选择题
1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB
→＋PC →＝0 D.P A →＋PB
→＋PC →＝0
解析：如图，根据向量加法的几何意义BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC
→＝0. 答案：B
2．(2013·山西考前适应性训练)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，且a ＝2b ，则|b |＝( )
A.13
B.2
3 C ．1 D ．2
解析：∵a ＝2b ，|a ＋b |＝1，∴|3b |＝1，|b |＝1
3. 答案：A
3．(2013·北京昌平期末)如图，在△ABC 中，BD ＝2DC .若AB →＝a ，AC
→＝b ，则AD →＝( )
A.23a ＋13b
B.23a －13b
C.13a ＋23b
D.13a －23b
解析：由题可得AD
→＝AC →＋CD →，AD →＝AB →＋BD →，又BD →＝2DC →，所以3AD →＝2AC →＋AB →，即AD →＝13a ＋23b ，选C.
答案：C
4．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB
→.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
解析：①式的等价式是AB
→－BC →＝DA →－CD →，左边＝AB →＋CB →，右边＝DA
→＋DC →，不一定相等；②式的等价式是AC →－BC →＝AD →－BD →，AC →＋CB →＝AD →＋DB →＝AB →成立；③式的等价式是AC →－DC →＝AB →＋BD →，AD →＝AD
→成立．
答案：C
6．已知a 、b 是两个不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
解析：由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB
→＝tAC →(t ∈R )， 所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝t
1＝tμ，即λμ＝1.
答案：D
5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )
A ．k ＝1且c 与d 同向
B ．k ＝1且c 与d 反向
C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向 解析：∵c ∥d ，∴c ＝λd ，
即k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝λ
λ＝－1
.
答案：D
6．(2013·石家庄第二次模拟)如右图，在△ABC 中，AN →＝12NC →，
P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29
AC →，则实数m 的值为( )
A.19
B.1
3 C ．1 D ．3
解析：∵AN →＝12NC →，∴AC →＝3AN →，由AP →＝mAB →＋29AC →得AP →＝mAB →＋23AN →，由B 、P 、N 三点共线得m ＋23＝1，∴m ＝1
3.
答案：B
7．(2013·资阳市第一次模拟)已知向量a ，b 不共线，设向量AB →＝a －k b ，CB →＝2a ＋b ，CD →＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为( )
A ．10
B ．2
C ．－2
D ．－10
解析：CB
→－CD →＝DB →＝(2a ＋b )－(3a －b )＝－a ＋2b 若A 、B 、D 三点共线，则∃实数λ使AB
→＝λDB →，即a －k b ＝λ(－a ＋2b )即⎩⎪⎨⎪⎧
－λ＝1－k ＝2λ
，∴k ＝2，故选B.
答案：B
8．已知向量p ＝a |a |＋b
|b |，其中a ，b 均为非零向量，则|p |的取值
范围是( )
A ．[0， 2 ]
B ．[0,1]
C ．(0,2]
D ．[0,2]
解析：由已知向量p 是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p |max ＝2，当这两个单位向量反向时，|p |min ＝0.
答案：D 二、填空题
9．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC
→|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.
解析：|AB
→＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12
|BC →|＝2. 答案：2
10．(2013·大庆模拟)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA
→，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．
解析：∵OA
→＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA
→＝CD →.∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形 三、解答题
11．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，1
3(a ＋b )三向量的终点在同一直线上？
解：设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫23m －1a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
m 3－t b ， ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0m
3－t ＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝32，
t ＝12.
∴t ＝12时，a ，t b ，1
3(a ＋b )的终点在一直线上．
12．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )．
(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；
(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)∵m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1， ∴OP
→＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →， ∴OP
→－OB →＝m (OA →－OB →)． ∴BP
→＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R . ∴BP
→与BA →共线， 又BP
→，BA →有公共点B .∴A ，P ，B 三点共线． (2)∵A ，P ，B 三点共线，∴BP →与BA →共线， ∴存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP
→－OB →＝λ(OA →－OB →)． ∴OP
→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又∵OP
→＝mOA →＋nOB →， ∴mOA
→＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又∵O ，A ，B 不共线，∴OA
→，OB →不共线． 由平面向量基本定理得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝λ，n ＝1－λ.
∴m ＋n ＝1. [热点预测]
13．(1)(2013·福州质检)已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2PD →＝(1－λ)P A →＋CB →，其中λ∈R ，则P 点一定在( )
A ．A
B 边所在的直线上 B ．B
C 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上
D ．△ABC 的内部
(2)(2013·南平市普通高中毕业班质量检查)已知△ABC 的面积为12，P 是△ABC 所在平面上的一点，满足P A →＋PB →＋2PC →＝3AB →，则△ABP 的面积为( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
(3)(2013·石家庄市高三模拟考试)在△ABC 中，∠B ＝60°，O 为△ABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且OP →＝xOA →＋yOC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．
解析：(1)2PD →＝P A →＋PB →＝(1－λ)P A →＋CB →⇒PB →－CB →＝－λP A →⇒PC →＝λAP
→，易得P 、A 、C 三点共线，故选C. (2)如图．
取AC 的中点为D .
AB →＝AP →＋PB →代入P A →＋PB →＋2PC →＝3AB →得P A →＋PC →＝AB →＝2PD →，∴PD 綊12AB .
∴P 到AB 的距离为AB 边上 高的一半
∴S △ABP ＝1
2S △ABC ＝6. (3)
如图，∠B ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵|OA →|＝|OP →|＝|OC →|.∴当P 为劣弧AC 中点时x ＝y ＝1，x ＋y ＝2，当P 向A (或C )靠近时x ＋y 减小，当P 与A (或C )重合时x ＝1(y ＝0)此时x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[1,2]．
答案：(1)C (2)C (3)[1,2]。