绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A．2 B．4 C．2+ D ．56．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->开始x =1，y =1，k =0s =x -y ，t =x +y x =s ，y =tk =k +1k ≥3输出(x ，y )结束是否正(主)视图11俯视图侧(左)视图217．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）10．已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．11．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 3sin 6ρθθ+=的距离为．12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB y AC =+，则x =；y =．14．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．A B Oxy -122C三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数2()cos 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．16．（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．18．（本小题13分）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．O FE C B A19．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C （6）C （7）C （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）40 （10（11）1 （12）1 （13）12 16- （14）1- [)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题（共6小题，共80分） 15. 解：(Ⅰ) ()2cos 222x x x f x =x x =+-sin 42x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期22.T ππω==(Ⅱ)0,x π-≤≤， 3444x πππ∴-≤+≤ 当42x ππ+=，即34x π=-时，()f x 取得极小值。

sin 4x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦， ()1f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦所以()f x 在[],0π-的最小值()min 314f x f π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭16. 解：(Ⅰ) 设甲的康复时间不少于14天记为事件A()13173.7C P A C ==所以甲的康复时间不少于14天的概率为3.7(Ⅱ) 因为25a =，假设乙康复的时间为12天，则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天，共4人。

若乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天、15天、16天，共3人。

若乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天、16天，共2人。

若乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天，共1人。

当乙的康复时间为其它值时，由于甲的康复时间为16天，均不符合题意。

所以符合题意的甲、乙选择法师共计4+3+2+1=10种因为所有情况都是等可能的，所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率1049P =(Ⅲ) 11a =或18a =17. (Ⅰ) 证明：AEF ∆是等边三角形，O 为EF 的中点。

AO EF ∴⊥ 又平面AEF ⊥平面EFCB , 平面AEF 平面EFCB EF = AO ⊂平面AEF AO ∴⊥平面EFCB 又BE ⊂平面EFCBAO ∴⊥BE (Ⅱ) 取CB 得中点D ，连接OD如图分别以,,OE OD OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系()()()()()0,0,3,,0,0,2,233,0,0,3,2,233,0A a E aB a AE a a EB a a -=-=--易见平面AEF 的法向量为()10,1,0n = 设平面AEB 的法向量为()2,,n x y z =()()302320ax az a x a y ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩所以()23,1,1n =- 1212125cos ,5n n n n n n ⋅∴==-因为二面角F AE B --为钝角，所以它的余弦值为55-. (Ⅲ) 由(Ⅰ)知 AO ⊥平面EFCB AO BE ∴⊥ 若BE ⊥平面AOC ， 仅需BE OC ⊥由(Ⅱ)得()2,233,0BE a a =-- ， ()2,233,0OC a =-- 0BE OC ⋅= ，()222423324121230a aa a a -+-=-+-+=231080a a -+= ， 解得2a =（舍）或43a =. 18．解：（Ⅰ）()1ln,1x f x x +=- ()()22122',111x f x x xx -=⋅=+-- ()'02,k f == ()00,f = 所以切线方程为2y x =.（Ⅱ）原命题⇔()0,1,x ∀∈ ()320.3x f x x ⎛⎫-+> ⎪设()()()3ln 1ln 123x F x x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭()422112'22,111x F x x x x x =+--=+-- 当()0,1x ∈时，()'F x 0>，函数()F x 在()0,1x ∈上单调递增。

()()00F x F >= ， 因此()0,1,x ∀∈ ()32.x f x x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭（Ⅲ）31ln ,13x x k x x ⎛⎫+>+ ⎪-⎝⎭ ()0,1x ∈ ⇔ ()()31ln 0,0,113x x t x k x x x ⎛⎫+=-+>∈ ⎪-⎝⎭()()()422222'1,0,1,11kx k t x k x x x x +-=-+=∈-- 所以当[]()0,2,'0.k t x ∈≥ 函数()t x 在()0,1上单调递增， ()()00.t x t >=当2k >时，令()'0,t x = 解得()4020,1k x k-=∈ x()00,x0x()0,1x()'t x -0 +()t x减极小值增()()000,t x t <= 显然不成立。