2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2015年北京，文1，5分】若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A B =I （ ）（A ）{}32x x -<< （B ）{}52x x -<< （C ）{}33x x -<< （D ）{}53x x -<< 【答案】A【解析】{}32A B x x =-<<I ，故选A ．（2）【2015年北京，文2，5分】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）（A ）()()22111x y -+-= （B ）()()22111x y +++= （C ）()()22112x y +++=（D ）()()22112x y -+-= 【答案】D【解析】由已知得，圆心为()1,1，半径为2，圆的方程为()()22112x y -+-=，故选D ．（3）【2015年北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）ln y x = （D ）2x y -=【答案】B【解析】函数2sin y x x =为奇函数，2cos y x x =为偶函数，ln y x =与2x y -=为非奇非偶函数，故选B ． （4）【2015年北京，文4，5分】某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）（A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300【答案】C【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =，故选C ．（5）【2015年北京，文5，5分】执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】13322a =⨯=，1k =，3124a =<−−→否313224a =⨯=，2k =，3144a =<−−→否313428a =⨯=，3k =，3184a =<−−→否3138216a =⨯=，4k =，31164a =<−−→是输出4k =， 故选B ．（6）【2015年北京，文6，5分】设a r，b r 是非零向量，“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a b r r ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>r r r r r r ，由已知得cos ,1a b <>=r r ，即,0a b <>=r r ，//a b r r ．而当//a b r r时，,a b <>r r 还可能是π，此时||||a b a b ⋅=-r r r r ，故“a b a b ⋅=r rr r ”是“//a b r r ”的充分而不必要条件，故选A ． （7）【2015年北京，文7，5分】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300侧（左）视图正（主）视图111最长棱的棱长为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，222223SA SC AC SC AB BC =+=++=，故选C ．（8）【2015加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12 35000 2015年5月15日48 35600 注：“ ） （A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升 【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升． 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米． 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B ． 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

（9）【2015年北京，文9，5分】复数()i 1i +的实部为 ． 【答案】1-【解析】复数i(1i)i 11i +=-=-+，其实部为1-．（10）【2015年北京，文10，5分】32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5【解析】31218-=<，12331=>，22log 5log 423>>>，所以2log 5最大．（11）【2015年北京，文11，5分】在ABC ∆中，3a =，6b =，23A π∠=，则B ∠=______．【答案】4π 【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =，即63=，所以2sin B =，所以4B π∠=． （12）【2015年北京，文12，5分】已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．【答案】3 【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以3b =． （13）【2015年北京，文13，5分】如图，ABC ∆及其内部的点组成的集合记为D ，(),R x y 为D 中任意一点，则23z x y =+ 的最大值为_______． 【答案】7【解析】依题意，23z x y =+在点()2,1A 处取得最大值7．（14）【2015年北京，文14，5分】高三年级267位学生参加期末 考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从 这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生 是 ；y xC 0,2()A 2,1()B 1,0()O yxC 0,2()A 2,1()B 1,0()O②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目 是 ．【答案】乙、数学．【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙．②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学．三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2015年北京，文15，13分】已知函数()2sin 2xf x x =-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．解：（1）()sin f x x x =-Q 2sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期为2π．（2）因为203x π≤≤，所以33x πππ≤+≤，从而3x ππ+=，即23x π=时，()f x 最小。

所以()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．（16）【2015年北京，文16，13分】已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =L ．（2）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =．所以61642128b -=⨯=．由12822n =+，得63n =．所以6b 与数列{}n a 的第63项相等．（17）【2015年北京，文17，13分】某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的（1（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ 解：（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=． （2）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=． （3）与（1）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．（18）【2015年北京，文18，14分】如图所示，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形，AC BC ⊥，且AC BC ==O ，M 分别为AB ，VA 的中点．（1）求证：//VB 平面MOC ；（2）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （3）求三棱锥V ABC -的体积． 解：（1）依题意，O ，M 分别为AB ，VA 的中点，则OM 是VAB △的中位线，所以//OM VB ，OM ⊂平面MOC ，VB ⊄平面MOC ，故//VB 平面MOC ．（2）因为AC BC =，O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥．又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB ，所以平面MOC ⊥平面VAB ．． （3）在等腰直角三角形ACB 中，2AC BC ==，所以2,1AB OC ==．所以等边三角形VAB 的面积VAB S ∆=．又因为OC ⊥平面VAB ， 所以三棱锥C-V AB 的体积等于13VAB OC S ∆⨯⨯=又因为三棱锥V-ABC 的体积与三棱锥C VAB -的体积相等，所以三棱锥V-ABC ． （19）【2015年北京，文19，13分】设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．解：（1）由函数()2ln 2x f x k x =-，()0k >()2/k x k f x x x x-⇒=-=， 所以()/0f x x =⇒=。