常用数学公式一、乘法与因式分解公式1.11.21.4二、三角不等式2.12.22.32.42.6三、一元二次方程的解3.2(韦达定理)根与系数的关系：四、某些数列的前n项和4.24.34.7五、二项式展开公式六、三角函数公式1 两角和公式6.16.22 倍角公式6.56.63 半角公式4 和差化积七、导数与微分1 求导与微分法则2 导数及微分公式八、不定积分表（基本积分）二、因式分解在第一章中，我們知道兩個x 的一次式乘積展開後成為x 的二次多項式。

反過來說，如果能將一個x 的二次式寫成兩個x 的一次式的乘積，我們稱這樣的過程為這個二次式的因式分解。

此時，這兩個一次式都稱為二次多項式的因式，而這個二次多項式則稱為這兩個一次式的倍式。

在高中的課程中，我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這種過程也稱為這個多項式的因式分解。

例如：22x x --= (1)(2)x x +-326116x x x -+-= (1)(2)(3)x x x ---在國中階段做因式分解時，我們只考慮因式的係數為有理數（整數或分數）的情形。

但從此以後，我們將不再要求因式的係數一定是有理數。

因式分解乘積展開 因式分解乘積展開現在來介紹幾個常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式。

2-1 提公因式【從各項提公因式】如果發現每一項都有共同的因式時，我們可先將此公因式提出。

【範例1】因式分解下列多項式：(1) 25x x + (2) 2()2()a b a b --- (3) 23(2)(2)x y y x -+-【解】 (1) 25x x += 5x x x ⋅+⋅= (5)x x +(2) 2()2()a b a b ---= (a -b )( a -b )-2( a -b )= (a -b )[(a -b )-2] = (a -b )(a -b -2)(3) 23(2)(2)x y y x -+-= 23(2)(2)x y x y ---= 2(2)[1(2)]x y x y --- = 2(2)(12)x y x y --+【分組提公因式】當各項沒有公因式時，可嘗試分組或去括號重新分組，使得每組之間有公因式。

【範例2】因式分解下列多項式：(1) 321x x x +++(2) 25410xy x y +++ (3) 22323ax x ax -+-(4) 222(1)()xy z z x y +++【解】 (1) 321x x x +++= 2(1)(1)x x x +++= 2(1)(1)x x ++(2) 方法一：25410xy x y +++= (25)(410)xy x y +++= (25)2(25)x y y +++ = (25)(2)y x ++方法二：25410xy x y +++= (24)(510)xy y x +++（交換律）= 2(2)5(2)y x x +++ = (2)(25)x y ++(3) 方法一：22323ax x ax -+-= 2(23)(23)ax x ax -+-= (23)(23)x ax ax -+- = (23)(1)ax x -+方法二：22323ax x ax -+-= 2(22)(33)ax ax x +-+= 2(1)3(1)ax x x +-+ = (1)(23)x ax +-(4) 可嘗試去括號展開後，再重新分組。

222(1)()xy z z x y +++= 222xy xyz zx zy +++= 222()()xy zx xyz zy +++ = ()()x y zx yz xz y +++ = ()()x y xz yz y xz +++ = ()()y xz x yz ++從上面的例子我們可以看出，某些多項式可能有不只一種分組的方式來做因式分解。

【拆項後分組提公因式】有時候，可嘗試先將多項式中某一項拆開後，再利用分組提公因式。

【範例3】因式分解下列多項式：(1) 43221x x x x ++++ (2) 432332x x x x ++--【解】 (1)43221x x x x ++++= 22431x x x x x +++++ 2222()x x x +== 222(1)(1)x x x x x +++++ = 22(1)(1)x x x +++ (2)243332x x x x ++--= 24233322x x x x x ++--- 222)2(x x x -== 222(32)(32)x x x x x ++-++ = 22(32)(1)x x x ++- = (1)(2)(1)(1)x x x x ++-+ = 2(1)(2)(1)x x x ++-事實上，範例3的第(2)題也可用分組的方式來因式分解：432332x x x x ++--= (x 4+x 2-2)+(3x 3-3x )= (x 2-1)(x 2+2)+3x (x 2-1) = (x 2-1)(x 2+3x +2) = (x +1)(x -1)(x +1)(x +2) = (x +1)2(x +2)(x -1)【類題練習】因式分解下列多項式：(1) 432655x x x x ++++(2) 4327136x x x x --+-【家庭作業】因式分解下列多項式： 1. 2236a b ab + 2. (2)(3)4(2)(3)a b a b -++-+ 3. 23(3)(3)a a a --- 4. 263ab a b -+- 5. 222(1)()xy z z x y -+- 6. 2252x x -+ 7. 43222x x x x +--- 8. x a b bx ax 32)()(--- 9. )14)(2()2(23+--+-x x x x10. 12223+++x x x2-2十字交乘法因為大家都已熟悉十字交乘法，所以在這裡只舉例，而不做文字說明。

【二次三項式】【範例1】因式分解下列多項式：(1) 290x x -- (2) 22615x y xy +-【解】 (1) 290x x --= (9)(10)x x +-(2) 22615x y xy +-= (35)(23)xy xy +-【類題練習】因式分解下列多項式：(1) 25251x x +-(2) 2380x x --【家庭作業】因式分解下列多項式： 1. 25510x x --2. 2()ax a b x b ---3. 22()3()5x y y x -+--4. 29354x x --5. 22714105a ab b --6. 2441312x x --7. ()(4)12a b a b ++-- 8. 7)(3)1(222---+-x x x x9. xy y x y x 6)4)(4(++-910x x +⨯- 3523xy xy +⨯-2-3利用乘法公式對於某些多項式，我們可直接利用乘法公式來做因式分解。

【完全平方】222()2a b a ab b +=++ 222()2a b a ab b -=-+【範例1】因式分解下列各式：(1) 269a a ++ (2) 224129x xy y -+ (3) 22(2)6(2)()9()x y x y y x x y +++-+-【解】 (1) 269a a ++= 22233a a +⋅⋅+= 2(3)a +(2) 224129x xy y -+= 22(2)2(2)(3)(3)x x y y -⋅⋅+= 2(23)x y -(3) 22(2)6(2)()9()x y x y y x x y +++-+-= 22(2)2(2)[3()][3()]x y x y x y x y +-⋅+⋅-+- = 2[(2)3()]x y x y +--= 2(25)x y -+（或寫成2(25)x y -）【平方差】22()()a b a b a b -=+-【範例2】因式分解下列各式：(1) 22(2)x x y -+ (2) 29(2)a -+ (3) 2222x y yz z -+-【解】 (1) 22(2)x x y -+= [(2)][(2)]x x y x x y ++-+= (2)(2)x x y x x y ++-- = (22)(2)x y y +- = 2()(2)x y y +-= 4()y x y -+(2 ) 29(2)a -+= 223(2)a -+= [3(2)][3(2)]a a ++-+ = (32)(32)a a ++-- = (5)(1)+-a a(3) 2222x y yz z -+-= 222(2)x y yz z --+= 22()x y z -- = [()][()]x y z x y z +--- = ()()x y z x y z +--+【立方差、立方和】22()()a b a ab b +-+= 33a b +22()()a b a ab b -++= 33a b -【範例3】因式分解下列各式：(1) 31x - (2) 338a b + (3) 66x y -【解】 (1) 31x -= 331x -= 22(1)(11)x x x -+⋅+ = 2(1)(1)x x x -++(2) 338a b += 33(2)a b += 22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-⋅+ = 22(2)(24)a b a ab b +-+(3) 66x y -= 3232()()x y -= 3333()()x y x y +-= 2222()()()()x y x xy y x y x xy y +-+-++【類題練習1】因式分解下列各式：(1) 322x x +-(2) 6664a b -在範例3的第(3)題中，也可以將66x y -寫成2323()()x y -，因此得到：66x y -= 2323()()x y -= 22222222()[()()]x y x x y y -++ = 224224()()x y x x y y -++顯然的，4224x x y y ++可以再分解，我們將在下一個單元裡，介紹它的分解方法。

【配方法】利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介紹的方法，可以處理一些特殊多項式的因式分解，這裡需要一些拆項(分項)或補項(加減項)的技巧，要多練習。

【範例4】因式分解下列多項式：(1) 421a a ++(2) 42951x x ++【解】 (1) 421a a ++= 42221a a a +-+= 42221a a a ++- = 222(1)a a +- = 22(1)(1)a a a a +++- = 22(1)(1)a a a a ++-+(2) 42951x x ++= 422961x x x +-+= 422961x x x ++- = 222(31)x x +-= 22(31)(31)x x x x +++- = 22(31)(31)x x x x ++-+事實上，在範例4的第(1)題中，所見到的22(1)(1)a a a a ++-+= 421a a ++也是一個常見的乘法公式。