2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1、若21)
2(lim 0=→x x f x ，则=→)
3
(lim 0x f x x （ ） A 、21 B 、2 C 、3 D 、3
1
2、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
01sin
)(2
x x x
x x f 在0=x 处 （ ）
A 、连续但不可导
B 、连续且可导
C 、不连续也不可导
D 、可导但
不连续
3、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是 （ ） A 、x
e y = B 、x y +=1 C 、2
1x y -= D 、x
y 1
1-
= 4、已知C e dx x f x +=⎰2)(，
则=-⎰dx x f )(' （ ） A 、C e
x
+-22
B 、
C e x +-221 C 、C e x +--22
D 、C e x +--22
1
5、设
∑∞
=1
n n
u
为正项级数，如下说法正确的是 （ ）
A 、如果0lim 0=→n n u ，则∑∞
=1n n u 必收敛 B 、如果l u u n
n n =+∞→1
lim )0(∞≤≤l ，则∑∞
=1n n u 必收
敛 C 、如果
∑∞
=1
n n
u
收敛，则
∑∞
=1
2
n n
u
必定收敛 D 、如果
∑∞
=-1
)
1(n n n
u 收敛，则∑∞
=1
n n u 必定收敛
6、设对一切x 有),(),(y x f y x f -=-，}0,1|),{(2
2
≥≤+=y y x y x D ，
=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ，则⎰⎰=D
dxdy y x f ),( （ ）
A 、0
B 、
⎰⎰1
),(D dxdy y x f C 、2⎰⎰1
),(D dxdy y x f D 、4⎰⎰1
),(D dxdy y x f
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7、已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等级无穷小，则=a 8、若A x f x x =→)(lim 0
，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0
x x =处连续.
9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ，
⎰
=1
3)(dx x f ，则⎰=1
')(dx x xf
10
1=，b a ⊥，则=+⋅)(b a a
11、设x e u xy
sin =，
=∂∂x
u
12、=⎰⎰D
dxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三角形区
域.
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、计算1
1lim
3
1
--→x x x .
14、若函数)(x y y =是由参数方程⎩
⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy 、2
2dx y
d . 15、计算
⎰
+dx x
x
ln 1. 16、计算
dx x x ⎰
20
2cos π
.
17、求微分方程2
'
2
y xy y x -=的通解.
18、将函数)1ln()(x x x f +=展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）.
19、求过点)2,1,3(-M 且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.
20、设),(2
xy x xf z =其中),(v u f 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、x
y z
∂∂∂2.
四、证明题（本题满分8分）. 21、证明：当2≤x 时，233≤-x x .
五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）
22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程. 23、已知一平面图形由抛物线2
x y =、82
+-=x y 围成. （1）求此平面图形的面积；
（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
24、设⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1
)(t a t dxdy x f t t g t
D ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续. （1）求a 的值使得)(t g 连续； （2）求)('
t g .
2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、C
2、B
3、C
4、C
5、C
6、A
7、2
8、)(0x f
9、1- 10、1 11、)cos sin (x x y e xy
+ 12、1
13、原式3
22
131lim 213
2
1==--→x x
x
14、21211122''
t t t t x y dx dy t
t =++-
==，t t t t x dx dy dx y d t 411221
)(22
'
'22+=+== 15、原式C x x d x ++=++=
⎰
23
)ln 1(3
2
)ln 1(ln 1
16、原式x d x dx x x x
x x d x cos 24
sin 2sin sin 20
2
20
20
2
20
2⎰⎰⎰
+=
-==
π
π
πππ
24
cos 2cos 24
2
20
20
2
-=
-+=
⎰πππ
π
xdx x
x
17、方程变形为2
'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x y x y y ，令x y p =则''xp p y +=，代入得：2
'p xp -=，分离变
量得：
dx x dp p ⎰⎰
=-112，故C x p +=ln 1，C
x x
y +=ln . 18、令)1ln()(x x g +=，0)0(=g ，2
0'
1)1()1()(+∞
=∞
=∑∑+-=-=n n n n n
n
x n dx x x g ， 故2
01
)1()(+∞
=∑+-=n n n x n x f ，11<<-x .
19、{}1,1,11-n 、{}1,3,42-n ，k j i k
j i
n n l ++=--=⨯=321
34113
21
直线方程为
1
2
3123+=-=-z y x . 20、'
22f x y
z =∂∂，''222''213'2''22''212'2222)2(2yf x f x xf y f x f x xf x y z ++=⋅+⋅+=∂∂∂. 21、令3
3)(x x x f -=，[]2,2-∈x ，033)(2
'
=-=x x f ，1±=x ，2)1(-=-f ，2)1(=f ，
2)2(-=f ，2)2(=-f ；所以2min -=f ，2m ax =f ，故2)(2≤≤-x f ，即233≤-x x . 22、y x y +=2'
，0)0(=y
通解为x
Ce x y +--=)22(，由0)0(=y 得2=C ，故x
e x y 222+--=. 23、（1）3
64
)8(2
2
22=
--=⎰
-dx x x S （2）πππ16)8()(284
24
=-+=⎰⎰
dy y dy y V
24、
dx x f t dy x f dx dxdy x f t
t
t
D t
⎰⎰⎰⎰⎰
==0
)()()(
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(0t a
t x f t g t
（1）0)(lim
)(lim 0
00
==⎰
→→dx x f t g t
t t ，由)(t g 的连续性可知0)(lim )0(0
===→t g g a t
（2）当0≠t 时，)()('
t f t g =，
当0=t 时，)0()(lim )(lim )0()(lim
)0(00
00'
f h f h
dx x f h g h g g h h
h h ===-=→→→⎰ 综上，)()('
t f t g =.。