绝密★启用前江苏省2017年普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置． 3．考试结束时，须将试题卷和答题卷一并交回．一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）1．设()f x 为连续函数，则0()0f x '=是()f x 在点0x 处取得极值的（ D ）．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．非充分非必要条件2．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（ B ）． A ．tan sin x x - BC1- D ．1cos x -3．0x =为函数e 1020()1sin 0x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩的（ A ）．A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．连续点4．曲线22684x x y x x-+=+的渐近线共有 ( C )． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．设函数()f x 在点0x =处可导，则有（ D ）．A ．0()()lim (0)x f x f x f x→--'=B ．0(2)(3)lim(0)x f x f x f x→-'=C ．0()(0)lim(0)x f x f f x→--'=D ．0(2)()lim(0)x f x f x f x→-'= 6．若级数1(1)np n n∞=-∑条件收敛，则常数p 的取值范围为（ C ）． A ．[1)+∞， B ．(1)+∞， C ．(01]， D ．(01)，二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7．设1lim()e d a xx x x x x-∞→∞-=⎰，则常数a = ▲ ．1a =-111lim()lim(1)e x x x x x x x-→∞→∞-=-=，e d e e a a x x a x -∞-∞==⎰，所以1a =-．8．设函数()y f x =的微分为2d e d x y x =，则()f x ''= ▲ ．2()2e x f x ''=2()e x f x '=，2()2e x f x ''=．9．设()y y x =是由参数方程3311sin x t t y t⎧=++⎨=+⎩ 确定的函数，则(1,1)d d y x = ▲ ．13由1x =，1y =得0t =，(1,1)d d y x =200d cos 1d 333t t y t x t ====+．10．设()cos F x x =是函数()f x 的一个原函数，则()d xf x x =⎰ ▲ ．cos sin x x x c -+()d dcos cos cos d cos sin xf x x x x x x x x x x x c ==-=-+⎰⎰⎰．11．设a 与b 均为单位向量，a 与b 的夹角为3π，则a b += ▲．1||||cos(,)2a b a b a b ⋅==，a b +====12．幂级数14n n n n∞=∑的收敛半径为 ▲ ． 4111114lim lim 444n n n n n n n n +→∞→∞++==，所以，收敛半径4R =． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13． 求极限2(e 1)d limtan xt x tx x→--⎰．解 222022000(e 1)d e 1limlim lim 1tan sec 1tan xt x x x x tx x xx x →→→--===--⎰． 14． 设(,)z z x y =是由方程ln 0z z xy +-=确定的二元函数，求22z x∂∂．解 10z z y x z x ∂∂+-=∂∂，1z yzx z ∂=∂+，22222211[(0z z z x z x z x ∂∂∂+-+=∂∂∂，222231((1)(1)z z y zx z z x z ∂∂==∂+∂+．15．求不定积分2x ． 解2x23x t =-2242(3)2d 2(69)d t t t t t t t -⋅=-+⎰⎰53153222122(29)(3)4(3)9(3)55t t t c x x x c =-++=+-++++．16．计算定积分120arcsin d x x x ⎰． 解11112222222000011arcsin d arcsin d (arcsin d arcsin )22x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰1112222200011(arcsin d arcsin )()2224x x x x x π=-=-⎰⎰ sin x t=令26600111cos 2(sin d )(d )2242242t t t t ππππ--=-⎰⎰6011111((sin 2))((2242222426448t t πππππ-=--=--=．17．设2()z yf y xy =，，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．解 设2u y =，v xy =，则()z yf u v =，，于是有22z f f v y y y f x x v x∂∂∂∂'===∂∂∂∂， 2222222222()f f f zu v yf y yf y x y y u y v y '''∂∂∂∂∂∂''=+=++∂∂∂∂∂∂∂ 23222122221222(2)22yf y yf xf yf y f xy f ''''''''''=++=++． 18． 求通过点(1,1,1)且与直线111121x y z +-+==--及直线4321050x y z x y z +++=⎧⎨-+-=⎩都垂直的直线方程． 解 依题意直线111121x y z +-+==--的方向向量1(1,2,1)s =--，直线4321050x y z x y z +++=⎧⎨-+-=⎩的方向向量 2432(5,2,7)111i j ks ==---，则所求直线的方向向量121(16,12,8)4(4,3,2)527i j ks =--=---=---，故所求直线方程为111432x y z ---==． 19．求微分方程233y y y x '''-+=通解．解 对应齐次方程的特征方程为2230r r -+=，特征根为1,21r =，所以对应齐次方程通解12e ()x y c c =+，又0不是特征根，设原方程的特解*y Ax B =+，则有**,0y A y '''==，于是有23()3A Ax B x -++=，得21,3A B ==，即有*23y x =+，原方程通解*122e ()3x y y y c c x =+=+++，其中12,c c 为任意常数．20． 计算二重积分2d d Dxx y y⎰⎰，其中D是由曲线x 3x y +=，1y =围成的平面闭区域．解232211211d d d d [(3)(1)]d y Dxx y y x x y y y y y y -==---⎰⎰⎰⎰2221110111(7)d (10ln 7)10ln 222y y y y y y =-+=-+=-⎰． 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．证明：当0x π<≤时，sin 2cos 2x x x +<．证明 设()sin 2cos 2f x x x x =+-，()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x '=+-=-，()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<（0x π<≤），因而当0x π<≤时，()f x '为单调减少函数，即有()(0)0f x f ''<=，从而有()(0)0f x f <=，即sin 2cos 20x x x +-<，即有sin 2cos 2x x x +<． 22．设函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，且()f x 为奇函数，证明： （1）00()d ()d aa f x x f x x -=-⎰⎰；（2）()d 0aaf x x -=⎰．证明 （1）0()d af x x-⎰x t=-令000()d()()d ()d ()d a aaaf t t f t t f t t f x x --==-=-⎰⎰⎰⎰；（2）由（1）得0()d ()d ()d ()d ()d 0aaaaaaf x x f x x f x x f x x f x x --=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰．五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23．设平面图形D 由曲线e x y =与其过原点的切线及y 轴围成，试求 （1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 解 设切线的切点为(,e )t t ，则切线方程为e e ()t t y x t -=-， 因为原点(0,0)在切线上，故有1t =，即切点为(1,e)，切线 方程为e e(1)y x -=-，即e y x =．（1）平面图形D 的面积112001e(e e )d (e e )22xxA x x x =-=-=⎰．（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积12122220011(e 3)e e e 3236xx V dx e πππππ-=-=-=⎰．24．已知曲线()y f x =通过点(1,5)-，且函数()f x 满足方程533()8()12xf x f x x '-=，试求： （1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．解 （1）533()8()12xf x f x x '-=可化为238()()43f x f x x x '-=，则有8()3p x x =-，23()4q x x =， 828()d (()d ()d 333()e (()e d )e (4e d )x x p x x p x x x x f x q x x c x x c ----⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰85833324(d )4x x c x cx x=+=-+⎰，又()y f x =通过点(1,5)-，得1c =，因而所求函数8533()4f x x x =-．（2）5233820()33f x x x '=-，21334040()99f x x x -''=-=()0f x ''=的1x =，又当0x =时()f x ''不存在．x (,0)-∞0 (0,1) 1 (1,)+∞()f x '' + 不存在 -0 + ()f x凹拐点(0,0)凸拐点(1,3)-凹由表可知：曲线()f x 在(,0)-∞，(1,)+∞上是凹的；在(0,1)上是凸的，拐点为(0,0)，(1,3)-．。