高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案第一章1.2afG — sin0)；殳上运动的质点的微写出约束在铅直平面内的光滑摆线afl - COS0)分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.解：设s为质点沿摆线运动时的路程，取0=0时，s=0H ( x = a(0-sine) * ly = —a(l — COS0)ds - J (dx)2 + (dy)2 二J((i9 — COS0 亠de)2+(sirL9 de)2 = 2asin|2a sin舟dO = 4 a (L co 马ee As=2acos^59 + 2asin?9 = acos| 9^ + 2a sin? 9x轴的夹角，取逆时针为正，tan (p即切线斜率设（P为质点所在摆线位置处切线方向与dy cos 0 -1 tan <p =—=———〒dx sin 01聶siin<p = -cosI受力分析得:ms = —mg sin （p = mg cos-0 •・B・r a贝U2a sin二6 + a cos二6' = geos-，此即为质点的运动微分方程。

S = =（S = 4a）-（S 二4a） + —（s = 4a） =4a—周期性变化的函数，周期T=2TT产P e 该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为2讥启.1.3证明：设一质量为m的小球做任一角度日0的单摆运动运动微分方程为m（2 + 2「日）=F gmrO = mg sin £给式两边同时乘以d9 r日d£=gsind8对上式两边关于6积分得护jgcog + c利用初始条件日=日0时日=0故c = -gcos£0由可解得0 =-{2& • J c 0 s-c 0 8o上式可化为-岸•J cos。

-cosgd日=dt两边同时积分可得 评J ； J co £o 页迅咼.1卑匸萼严进-步化简可得t 辟 J 站n r由于上面算的过程只占整个周期的1/4故由 s in 2/sin ¥=s z 两边分别对6 3微分可得cos % =s 碍C 。

现伞COS? = J l -sin 込sin 2®2 V 2sin — cos "^故d 日=2 … 2 d 申(1 —si n 2 号si n 2 W由于0<8<日0故对应的o <^<-2」 d 日 =4#『 「2% . £ V g 0 sin ---- sin — 2 2sin 2邑 S in 2 申故T /L, d ： 2 其中 K 2 =sin 2%Y g b J 1-K 2sin 2 半 2通过进一步计算可得T " [1 +(1* +(空)2"十…十严仔…心-1)*...]V g 2 2冥4 2咒4咒6梵• (2)1.52 T =4t =2「 "g J1 -d 日 Sin *2 色—si n 22 2 2 故T=2駅丁 f i e I HSi n -0cos W /j 1 - - 2 、解:如图，在半径是R 的时候，由万有引力公式, 对表面的一点的万有引力为「 jnMiU F% ,①M 为地球的质量；可知，地球表面的重力加速度 g , x 为取地心到无限远的广义坐标,m —= nig = F ，②联立①，②可得:_『Mg 二G 忑,M 为地球的质量；③此时表面的重力加速度 g 可求:d’x * £沪 Mm 皿^1 =皿菖=F2=G^ ④当半径增加 M ,R2=R+AR ，此时总质量不变，仍为M,?X'r M 厂 M S Y 石=G 亦而⑤ 则，半径变化后的g 的变化为h ，厂M 厂 MA 沪旷济⑥对⑥式进行通分、整理后得:矗 GM AR^+ZARRAg =雨刁両T ⑦, L1RR 2iiR聽=5百=君云⑧> ZARR ：iR1.6解：由题意可建立如图所示的平面极坐标系 则由牛顿第二定律可知, 质点的运动方程为[m(F - e 2) = F - mg cos 日 I m (「日 + 2「日)=mgsin 日 其中,由④得:则当半径改变4｛时，表面的重力加速度的变化为: 对⑦式整理，略去二阶量，同时和｛远小于R ，得etr = -V, r。

= L, r = L -Vt1.8设质点在平面内运动的加速度的切向分量和法向分量都是常数，证明质点的轨道为对数螺线。

解：设，质点的加速度的切向分量大小为丐^,法向分量大小为坷。

（其中丐1、丐为常数）则有『dvi —=比PZ - V其中P为曲率半径。

V 二aJ+Vo2押+吋+ 6 其中是T（l初始位置，舟1是初始速度大小。

把V2 （如t+Vo）2匕at由®''VzV W 二一P 对UJ 式积分则得其中6（1是初始角大小。

我们把⑧式转化为时间关于角的函数壽- V 。

t = ------------------将®式代入 ，于是得质点的轨道方程2瓦£上-瓦+52 2a当我们取一定的初始条件 切=65 = 瓷时，令入=m =r 二蒯即质点的轨迹为对数螺线。

1.9解：（1）从A 点到原长位置，此时间内为自由落体运动。

根据能量守恒：mgh =1mV 2,所以在原长位置时：乂 = jOghatatv2~ v~aj+vo。

方程可以简化为（2）从原长位置到最低点 D 处，以原长位置为坐标原点,解微分方程得：Z =C1coS 槽+6叫严2 因为 t 2=0时，Z=0, Z =V i =』2gl i 所以,…2co 巒+、匝引喘U 宀皿叫鲁“莎笃中（3）所以总时间为tT+t 2 彳7 哨（inS=Z i +Z 2=l i +I 2 +丿2（12 + 2l i ）1-11解:（ 1）质点运动分为三个阶段。

第一阶段为圆周运动，从释放质点到绳子张力为零；第二阶 段为斜抛运动，重新下降到与圆周相交位置时有一绷绳过程，质点机械能转化为绳子内能; 三阶段为在最低点附近的摆荡运动。

总体来看质点能量不守恒。

（2）第一阶段，由能量守恒可得，mgr （1 -cos 日）=1mv 2，因为加速度为g ,所以，至y 达原长的时间为：t i V 2 - 0 _ j 2l 1 g "V g「mg - kz = mz [kl2 = mg 化简得: Z + —g I 2向下为正方向，建立坐标轴z 。

当 z = 0 时，t 2 = J2（兀-tan° V g（21 I ________（十）,此时 Z =』2（l 2 +2l i ） +l 2A,D 间总距离为又，由绳子张力为零可知2vmgcosQ =m—，r第二阶段，设上升高度为h,则2」（vsi n0）h =—; ---------，2g联立可解得h=|7r，因此质点上升最高处为0点上方设斜抛到达最高点时水平位移为Q 2 —, 23 23, cos9 =—； h+rcos9=——r =——l3 27 54 23,爪——l处。

54s，则s=(vcosQ)t =vcos9(vsin%)，s=^^^ r = ^^l ；r sin 日-^5^|因此质点上升到最高点时在过圆心竖直轴线左边l处。

1-12解：由自然坐标系111 II『nis 二L皿严即 (2)s = «-p.ds/.s—= «- ds pds x"/._ = Cf -------------- 3fVl J.厂P XH J -QS 二a —: dy血S Jp 1+皿JV _ r-p 釀B , r 代T y 旳?dy,V TTIn -二—0£ u 2TT . 一CC••V 二 lie 21.13.解:（1）以竖直向下为正方向，系统所受合力P 二，一^^ +皿必菖+叫g= nigg ,,故系统动量不守恒; 对0点，-F N + KM 合力矩为零，皿咄过矩心，故力矩也为零，所以系统角动量守恒; 而对系统来说，唯一做功的是重力（保守力），因此，系统能量守恒。

（2）建立柱面坐标系，由动量定理得：善[叫旅+ r 械+ 殖=讪同时有r +2二I得到：-叫& +1常一朋马=叫gmd0-2）9-2£] = 0（3）对于小球A ,设其在水平平台最远距离 0为r 由动能定理得:严从F 一严辭'=皿肃（『-3）由角动量守恒得：皿皿耳产1110而raa-niE 二 rn得到r=3a 而由初始时刻 叫~ > nigg ，故小球在a 到3a 间运动。

•••Ln s p ®p1.14解：（1）分析系统的受力可知：重力竖直向下，支持力垂直于斜面向上，所受的合外力不为零, 故系统动量不守恒；由物体的受力情况可以判断系统的合外力矩不为零，故角动量也不守恒；而系统在运动过程中，除保守力外，其他力不作功，故机械能守恒，而能量一定守恒。

（2）以地面为参考系，以0为原点，建立球坐标系。

由质点系动量定理得：+ 2r9)= -(m盘 + m Jgsin 姑ih(pirigZ = -niggcosE约束条件：r—=1将约束条件连续求两次导，带入上边方程，消去Z,得:+ mjr二= （m^ + mg）gsin9cos（p— m^gnij^frip + 2f9)= -(m盘 + m Jgsin 肘ih(p⑶第三问不会做。

1.15水平方向动量守恒，则vmcos。

= m U2.2 2 u 十v — v 有余弦定理得：cos(兀-^) = = -coset2uv可得：v= I vrJ m2 cos2g + 2m cos2a寸172；* m mB 看作系统，由动量定理知其质心速度 v c 满足（mA + m B ）V c = m e V o由易知A B 各绕质心做半径为r 1二 m Bl ，r 2 = 叽 的圆周运动，由初始条件得,=旦m ^ m B m ^ m B l以质心C 点的坐标X c 和y c 及杆和x 轴的夹角0为坐标P (m A +m B W C j =m B V 0 jA B 12練=Im e V o k L =(m A +m B )x c y c k +m A f e1.18解:设m 和m 2碰撞后， m 的速度变为V 1， m 2的速度变为V 2， m 2与m 3碰撞后， m 2的速度变为V 2， m 3的速度变为V3由于两次碰撞时水平方向都不受外力，所以动量守恒，同时机械能守恒 对禾口^^2而言，则有:m V 1=m V 1+m 2V21 2 1 ,2 12m V1 =2 m V 1 +22mv 1两式联立消去V 1，则有V 2 = m + m可得: u=vm cosamv r COSaJ m '2 +m 2 cos +2mm ，cos 2 a1.16 解： 动量定理、 角动量定理和动能定理 7个方程式中仅有3个是独立的。