赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

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）系泊系统的设计和探究摘要本文利用牛顿力学定律，力矩平衡原理、非线性规划、循环遍历法等方法对系泊系统进行了设计与探究。

通过对系泊系统各组件和浮标运用牛顿经典力学体系进行分析，得到了各个情况下的钢桶倾斜角度、锚链状态、浮标吃水深度和游动区域。

︒，。

当风对于第二问，求解当海面风速为36m/s时，浮标的吃水深度和游动区域、钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。

利用第一问中的力学方程和程序，求得钢桶的倾角为19.5951︒和四节钢管的倾斜角度依次为19.756︒、19.755︒、19.916︒、20.076︒。

浮标的游动区域为以锚在海面上的投影为圆心，半径为18.8828m的圆。

由于部分数据与问题二中钢桶的倾斜角度不超过5︒，锚链在锚点与海床的夹角不超过16︒的要求不符，所以通过调节重物球的质量使钢桶的倾斜角度和锚链在锚点与海床的夹角处在要求的范围之内。

借助MATLAB程序中的循环遍历法，可以求得重物球的质量3770kg。

对于问题三，在设计系泊系统时，必须要使其能在最恶劣的情况下也能使用，故这里只讨论风速为36m/s，海水速度为1.5m/s时的系泊系统各构件的状态。

假设在问题二的情况下，重物球质量为3770kg，海水深度分别为16m和20m的情况下，浮标的吃水深度和游动区域、钢桶以及钢管的倾斜角度和锚链形态。

以钢桶倾斜角度和浮标游动范围为评价指标，运用TOPSIS的方法得出在海水深度为16m，在风速为36m/s，水流速度为1.5m/s时，五种锚链的钢桶倾斜角都为3.8291 ，比较浮标浮动范围得到，V号锚链浮动半径最小为。

600kg，1m，的密封1节。

现由题可知，如果要使该系统正常工作，那么就要使锚链末端和锚链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位；若钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度，则设备的工作效果较差。

因此为了控制钢桶的倾斜角度，可在钢桶与电焊锚链连接处悬挂重物球。

图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

附表锚链型号和参数表。

问题2 请在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

并试调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3 而由于潮汐等因素的影响，布放海域的水深实际介于16m~20m之间。

布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。

请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

二、问题分析本题是以系泊系统设计为背景的力学分析问题。

2.1 问题一分析和理。

如不合理，运用循环遍历法，逐渐增加重物球的质量，直至得到一个合理的质量。

2.3 问题三分析由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。

请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

三、模型假设1、海平面与海底平面水平。

2、浮标始终海平面保持垂直状态。

3、在一定时间内，风速和风向恒定。

5.1，水平向右的风力F 风和钢管产生的斜向下的拉力1T 。

其中：2g (/2) F d ρπ=⨯⨯浮 （1）2=0.625F v ⨯⨯风（H-h ） （2）根据牛顿第二定律列出下列方程组11 o s =c F G T α+⨯浮标 （3）11=sin F T α⨯风 （4）化简得：（2i 个2T 管 表由图可知，第一根钢管在竖直方向上受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力，浮标对其有一个斜向上的拉力，第二根钢管对其有一个斜向下的拉力。

根据受力分析平衡列出力学方程组。

竖直方向：i i+1i i+1+T sin =cos F G T αα⨯+⨯管管管管 （7）水平方向：i i+1i i+1cos sin T T αα⨯=⨯管管（8）化简得：()()()()i i i i i+1arctan T sin cos T F G ααα=⨯÷⨯+-管管管管（9）（3其中j β 化简得：j 2sin ()arctan2cos i i i i I iT G F T αβα⨯⨯--=⨯⨯（13）（4）钢桶进行受力分析t F 为钢桶所受浮力，T 管5为第四根钢管对钢桶的拉力，1T 链为第一根锚链对钢桶的拉力，t G 为钢桶自身重力，q G 为重物球的重力。

5α 为T 管5与t F 所成夹角，5ϕ 为1T 链与t G 所成夹角。

图5 钢桶受力分析图通过图5对钢桶进行受力分析得：（5其中θ图6 钢桶力矩平衡分析示意图由于钢桶还符合刚体的力矩平衡，可以列出以下方程：t 5t t t 51sin(-)=()sin 2L T L G F θαθ⨯⨯⨯⨯-⨯管（18）t 1t t t 11sin()=()sin 2L T L G F ϕθθ⨯⨯-⨯⨯-⨯链（19）化简得：5t t 55i 2sin ()arctan2sin T G F T αθα⨯---=⨯管管 （20）（6）锚链受力分析F 链 为锚链所受浮力，G 链 为钢管自身重力，i T 链表示第i-1个钢管对第i 个锚链的拉i 个（7）对链环倾斜角度进行分析由于链环符合刚体的力矩平衡，可以列出以下方程，其中i γ 表示第i 个钢管的倾斜角度，i= 1，2，3，……..210.i i i i i i 1sin()=()cos 2L T L G F ϕγγ⨯⨯-⨯⨯-⨯链链链（25）i i+1i i i 1i i 1sin()=()cos 2T L G F γϕγ+⨯-⨯⨯-⨯链链链（26）图7 链环力矩平衡分析化简得：i i i i i ii 2sin ()arctan2cos T G F T ϕγϕ⨯---=⨯链链链链（27）f F F 浮5α；2，3α，4α（9）（10）以及力矩平衡方程（13）进行求解，得到在风速为12m/s 时，钢管的倾斜角度见表2。

表2（2）计算钢桶的倾斜角度运用MATLAB中的循环遍历法对以钢管的受力分析的方程组（9）（10）进行求解得：将数据代入力矩平衡方程（13）进行化简得钢桶的倾斜角度θ为：18 HL因为4ii0=cosG gL Lα=⨯∑，t5=TL Lβ⨯，210h ii0=cosHL Lϕ=⨯∑；所以H=h+4210i t5h ii0i0cos cosgL L Lαβϕ==⨯+⨯+⨯∑∑由题可知，18H≤，所以利用迭代法可推出当为风速12m/s时，吃水深度h=0.6870m。

（3）锚链的形状根据210个链环之间的角度和已知的链环的长度，运用叠加求和的方法用MATLAB画出其图形。

由图可得当风速为12m/s时，有部分锚链平躺在海床上，其长度为6.7m。

图6 风速为12m/s时锚链形状（4）浮标游动区域的半径可由系泊系统中各个物件在水平方向上的投影求得。

所示2.表3 各项值数据锚链的形状如下图图8 风速为24m/s时锚链形状5.2问题二的模型建立与求解夹角=45.373︒，很显然问题二中钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度的要求不符。

这时就需要改变重物的质量，以调节钢桶的倾斜角度和锚链在锚点与海床的夹角，使两个角度在合理的区间。

这一想法的实现可以通过利用MATLAB中循环遍历法计算出重物球mq的取值为3770kg。

当重物球的质量区3770kg时，运用模型一中程序求得系泊系统中各个物体的状态，据此得到表5：表5︒小于5︒1.，在存此时的状态。

图9 锚链型号 1 图10 锚链型号2图11 锚链型号3 图12 锚链型号4图13 锚链型号5五种不同型号锚链在相同条件下的钢桶倾斜角、锚链在锚点与海床的夹角见表6。

表6由于五种型号的锚链钢桶倾斜角完全相同，所以只需比较浮标游动区域即可，由图表中数据可得应用型号V的锚链时浮标的游动区域最小为18.9175m。

2.海水深度为固定20m时，分析各锚链的形状。

使用问题一建立的模型，当风速为36m/s，海水深为20m，重物球质量为3770kg，在存在水流力的前提下对系泊系统各部分进行受力分析，用MATLAB运算不同型号的锚链在此时的状态图14 锚链型号1 图15 锚链型号2 图16 锚链型号3 图17 锚链型号4图18 锚链型号55.3.2 锚链型号的评价。

1）评价指标的预处理：P 将钢桶的倾斜角度θ和浮标的吃水深度R作为评价指标并得到评价矩阵1因为θ和R同为极小型指标，运用极小型指标向量归一化公式：风速为综合1、2两种情况可知当海水深度较浅时，选用V号锚链，系泊系统工作情况最佳，当海水深度较深时选用IV号锚链系泊系统工作情况最佳。

六模型评价模型优点：1）使用MATLAB清晰地表现出来锚链的形态，浮标的吃水深度，以及系统各部件的倾斜角度，本论文运用图像和表格使整体模型更加清晰明了。

2）分析了在不同海水深度状态下，使用不同锚链时，浮标吃水深度、钢桶倾斜角度以及锚链在锚点与海床的夹角的变化情况。

3）选用锚链时运用较为客观的评选方案，尽可能的避免了主观因素带来的影响。

问题一的模型：clear;clcmq=2200; %重物球的质量n=210; %链环的个数v=12; %风速m=1000; %浮标质量p=1025; %海水的密度g=9.8; %标准重力加速度v0=pi*h; %浮标所排海水体积Ffeng=0.625*s*v^2; %风力大小Ffu=p*g*v0;Gfu=m*g;下一节钢管拉力与竖直平面的夹角Ft(i+1)=Ft(i)*sin(a(i))/sin(a(i+1)); %钢管所受下一节钢管的拉力thital(i)=atan(Ft(i)*sin(a(i))*1/((Fguanfu-Gguan)*0.5+Ft(i)*cos(a(i)))); %钢管与竖直平面的夹角end%钢桶的受力分析Vt=0.15^2*pi; %钢桶的体积Vq=mq/7900; %重物球的体积钢桶钢%锚链mm=0.735; %每节链环的质量roum=7900; %锚链所用钢的密度7900kg/m*3Vm=mm/roum; %每节链环的体积Fmfu=p*g*Vm; %每节链环所受的浮力Gm=mm*g; %每节链环所受的重力Lm=0.105; %每节链环的长度%链环;%链环与竖直线的夹角if thita2(i)<0thita2(i)=thita2(i)+pi;endendH=h+sum(cos(thital))+Lm*sum(cos(thita2))+cos(beta); %总高度 if abs(H-18)<minminh=h; %浮标的吃水深度xx1(t)=minthita2;xx2=xx1(211-t);y=cumsum(Lm*cos(xx2));x=cumsum(Lm*sin(xx2));for t=1:1:210;if y(t)<0;x(t)=x(t);y(t)=0;lbeta=[];min=inf;for mq=1200:10:4000; minh=0;minH=0;minteba=0;minthital=zeros(1,4);minthita2=zeros(1,n)+pi/2;夹角s=4-2*h; %浮标受风面积v=36; %风速 m=1000; %浮标质量p=1025; %海水的密度g=9.8; %标准重力加速度v0=pi*h; %浮标所排海水体积Ffeng=0.625*s*v^2; %风力大小Ffu=p*g*v0;a(i+1)=atan((Ft(i)*sin(a(i)))/(Ft(i)*cos(a(i))+Fguanfu-Gguan)); %钢管所受下一节钢管拉力与竖直平面的夹 Ft(i+1)=Ft(i)*sin(a(i))/sin(a(i+1)); %钢管所受下一节钢管的拉力thital(i)=atan(Ft(i)*sin(a(i))*1/((Fguanfu-Gguan)*0.5+Ft(i)*cos(a(i)))); %钢管与竖直平面的夹角endVt=0.15^2*pi; %钢桶的体积Vq=mq/7900; %重物球的体积Gt=100*g;钢桶钢桶roum=7900; %锚链所用钢的密度7900kg/m*3Vm=mm/roum; %每节链环的体积Fmfu=p*g*Vm; %每节链环所受的浮力Gm=mm*g; %每节链环所受的重力Lm=0.105; %每节链环的长度for i=1:ngama(i+1)=atan(Ft2(i)*sin(gama(i))/(Ft2(i)*cos(gama(i))+Fmfu-Gm)); %链环所受下一节链环拉力与竖直平面的夹角if gama(i+1)<0endH=h+sum(cos(thital))+Lm*sum(cos(thita2))+cos(beta); %总高度if abs(H-18)<minminh=h; %浮标的吃水深度min=abs(H-18);minH=H;minthial=thital;minthita2=thita2;endif abs(minH-18)>0.2; continueendlmq=[lmq mq];lh=[lh minh];lbeta=[lbeta minbeta];endFt2=zeros(1,n+1); %链环所受的力gama=zeros(1,n+1); %链环之间的力与竖直平面的角度thita2=zeros(1,n)+pi/2; %链环与竖直平面的夹s=4-2*h; %浮标受风面积v=36; %风速m=1000; %浮标质量p=1025; %海水的密度g=9.8; %标准重力加速度a(1)=atan((Ffeng+Fw1)/(Ffu-Gfu));Ft(1)=sqrt((Ffeng+Fw1)^2+(Ffu-Gfu)^2); %钢管Vguan=pi*0.025^2;Gguan=10*g;Fguanfu=p*g*Vguan;sw2=0.05*1;Fw2=374*sw2*vw^2for i=1:4Vq=mq/7900; %重物球的体积Gt=100*g;Gq=mq*g;Ftfu=p*g*Vt;Fqfu=p*g*Vq;sw3=0.3*1;fw3=374*sw3*vw^2Fmfu=p*g*Vm; %每节链环所受的浮力Gm=mm*g; Lm=0.078; %每节链环的长度sw4=0.078*sqrt(Vm/(pi*0.078))fw4=374*sw4*vw^2for i=1:ngama(i+1)=atan((Ft2(i)*sin(gama(i))+fw4)/(Ft2(i)*cos(gama(i))+Fmfu-Gm)); %链环所受下一节链环拉力与竖直平面的夹角thita2(i)=thita2(i)+pi;endendH=h+sum(cos(thital))+Lm*sum(cos(thita2))+cos(beta); %总高度if abs(H-16)<minminh=h; %浮标的吃水深度 min=abs(H-16); %逐次逼近xx2=xx1(284-t);y=cumsum(Lm*cos(xx2));x=cumsum(Lm*sin(xx2));for t=1:1:283;if y(t)<0;x(t)=x(t);y(t)=0;endb=(1./a(1,:));c=sum(b.^2);d=b/sqrt(c); %归一化矩阵e=(1./a(2,:));f=sum(e.^2);g=e/sqrt(f);m=0.4379-g;n=0.3607-d;o=sqrt(m.^2+n.^2);。