取弦的水平位置为 x 轴，x 0 为原点，
弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程
utt a2uxx 0
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 确定边界条件
对于弦的固定端，显然有 u(0,t) 0 另一端自由，意味着其张力为零，则
u 0 x xl
③ 确定初始条件 根据题意，当 t 0 时，弦处于水平状态，即初始位移为零
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 扩散方程的定解条件 初始条件
定解条件： 边界条件
① 初始条件——描述系统的初始状态
T (x, y, z, 0) (x, y, z)
式中φ( x, y, z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：介质表面温度已知
T ( p,t) S 0
式中，p为边界面上的点。
第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知
T
T
qn K n const,
f ( p,t) n S
第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知
qn (T T0 )
(为热交换系数)
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量
泛定方程
波动方程 热传导方程 稳态方程
定解问题
第一类边界条件 边界条件 第二类边界条件
第三类边界条件
初始条件 初始状态 初始速度
第三章 定解条件与定解问题的提法
要想完全确定一个物理过程除了控 制方程（一般指偏微分方程）外，还需要 给定初始和边界条件。
表征和控制物理现象的方程，称为控制 方程或泛定方程。由前面有关三种典型方程 的推导过程得出，不同的物理现象具有不同 的物理规律，其控制方程也是不同的。
第三章 定解条件与定解问题的提法
第三章 定解条件与定解问题的提法
定解条件与 定解问题的提法
第三章 定解条件与定解问题的提法
3.1 定解条件
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数， 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
☆ 拉普拉斯和泊松方程的定解条件
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。定解条件不 含初始条件，只有边界条件。
第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
f ( p) S
第二边值问题，牛曼问题
f ( p) n S
第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
h f ( p)
n
S
第三章 定解条件与定解问题的提法
0 xl
系统各点的初位移 系统各点的初速度
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况 第一类边界条件：对于两端固定的弦的振动，其为：
u(0,t) 0, u(l,t) 0 或： u(0,t) f (t), u(l,t) g(t)
第二类边界条件：一 端既不固定，又不受位移方向力的作用
非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。 稳态问题：定解条件为边界条件。 定解问题=控制方程+定解条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
根据分析问题的不同出发点，把数学物理问 题分为正向问题和逆向问题。
正向问题，即 为已知源求场
逆向问题，即 为已知场求源.
不同出发点 ?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容。 后者是高等数 学物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容
第三章 定解条件与定解问题的提法
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场 和产生这种场的源之间的关系。
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松方程表示的是电势 （或电场）和电荷分布之 间的关系
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解条件
☆ 波动方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 +边界条件
初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件
特解 定解条件=初始条件+边界条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
例： 长为 l 的弦在 x 0 端固定，另一端 x l
自由，且在初始时刻 t 0 时处于水平状态，初始速度为 x(l x) ，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题. 【解】 ① 确定泛定方程：
u u
0
x x0 x xl
或：
u x
x0
f
(t),
u g(t) x xl
第三类边界条件： 在x=l 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承
T u k u
或
x xl
xl
u x
u
xl
0
第三章 定解条件与定解问题的提法
例 ： 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和 x l ，
在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离 h ，
3.2 定解条件的形式和定解问题
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史， 即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的 条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约 束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u
h
o
b
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
x l
ut (x, t) |t0 ut (x, 0) 0
初始位移如图所示
u(
x,
0)
h b
x
h l b
(l
x)
(0 x b) (b x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法
K
T n
(T
T0 ),
T n
hT
S
f
( p,t)
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 扩散方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 +边界条件
初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件
特解 定解条件=初始条件+边界条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 定解条件与定解问题的提法
例： 长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直， 下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。 试写出杆振动的定解问题。
2u t2
a2
2u x2
,
u(x, 0) 0, ut (x, 0) v0,
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x (0,l) t0
一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应 满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察 弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态以及边界 条件所处的状况有关。
① 初始条件——描述系统的初始状态
设弦在初始时刻t 0时的位置和速度为：
u(x, 0) (x)
u( x, t
0)
(x)
u(x, 0) 0
初始速度
u t
|t 0
x(l
x)
第三章 定解条件与定解问题的提法
综上讨论，故定解问题为
utt a2uxx 0 u(0,t) 0, ux
|xl
0
u(x, 0) 0,ut (x, 0) x(l x)
(0 x l,t 0) (t 0)
(0 x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法