Scu (q1 q)St
u [k x
x l
q1
q
0
l- l
H (u |l u 0 )]St
同除以 S t，并令→0， t→0
u 0 k x H (u | xl u0 )
x l
即： (kux Hu) xl Hu0 , t 0
方程导出过程小结： 1）建立合适的坐标系
2）确定描述系统状态的物理量—未知函数 3）作出合理的简化假设 4）找出系统所遵从的主要物理规律
5）利用小块分析法导出方程
各类方程均是对一种连续分布的物理场的逐点、
瞬时的精确描述。也就是说，从空间上看，方程 所反映的是系统中除边界点外所有内部点的运动 规律。从时间上看，方程所反映的是系统在t>0 以后各个时刻的运动规律。
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0 t 0
【例2】长为l的细杆导热，两端分别与温度为u0和f (t)
的热源接触。
u(0, t ) u 0 u(l , t ) f (t ) t 0
2.第二类边条件：直接给出未知函数在边界上法向偏 导数的变化规律
u 一般形式： n
一、初始条件
定义：描述初始时刻，系统各点状态的定解条件 注：只有非稳定问题，提初始条件才有意义
【例1】长为l弦的横振动
u ( x ,0 ) ( x ) 初条件 u t ( x,0) ( x )
【例2】热传导 初条件：
u(r ,0) (r )
r V
初位移 初速度
结论：第二类齐次边条件在杆纵振动中的物理 意义就是自由端不受力。
【例2】侧面绝热细杆热传导问题，求x=0端边条件
已知：x=0端 1）有热流密度q流入 2）绝热 解：1）有热流q流入的情况： 如图取小块（含端点x＝0） 左端：q 流入（所给边条件） 右端：q1 流出 q

q1 k u x
q1 0
推导方法：小块分析法，选含端点x=l的任一小段
推导思路：把基本物理规律运用于这一小块建立
运动方程，最后令→0
右：受力 F (t )
左：受力 F1

外力 张力
F1

F (t )
u 由胡克定律 F1 Y x
对于小块使用牛二：
S
x l
o
l- l
x
u( xc , t ) u S F (t ) F1 F (t ) YS 2 t x
侧面绝热
x
对小块使用能量守恒定律：q Scu (q q1 )St
q1 0
侧面绝热
x
(q k u x )St
同除以 S t 令→0， t→0
u c (q k u x ) t
0 q ku x (0, t )
q u x (0, t ) k
u x (0, t ) 是边界点x=0处的法向偏导数
2)绝热 可认为1)中的q=0（无热流流入）

ux (0, t ) 0
第二类齐次边条件在热传导问题中表示端点绝热 第二类边条件： 纵振动： 端点受力（不受力） 热传导： 端点有热流流入（绝热）
3.第三类边条件：给出未知函数及它的法向偏导数在 边界上满足的线性关系 一般形式： ( u u) f (M , t )
0 xl
系统中各点的温度 物体所占空间
二、边条件 定义：描述系统任意时刻，边界状态的定解条件 下面介绍常见的几种类型的边条件 1. 第一类边条件：直接给出边界上未知函数u的 数值或随时间的变化规律
一般形式：u(r , t ) r f (M , t ) 边界点M
【例1】两端固定，长为l的弦振动问题中，边条件为
作业
1、一根重量不可忽略的均匀弹性杆垂直放置，上端固定在 自由下落的电梯天花板上，设此电梯速度达到时突然静止， 写出定解问题。引力场忽略。
2、两端固定，长为l的均匀弦，在阻力与速度成比例的介 质中作微小横振动，求定解问题。 3、长为l的均匀杆，侧面绝热，一端温度为零，另一端有 恒定热流密度q流入，杆的初始温度分布函数是 x l x ， 2 写出相应的定解问题。 4、长为l的水平杆以常速度v顺水平轴方向运动，若杆的中 点处突】侧面绝热的细杆，x=l端，自由冷却，外界温 度为u0，求x=l端的边条件 解：自由冷却：散热方式是以辐射和对流为主 这种散热方式满足牛顿冷却定律： 物体表面流出的热流密度∝物体表面与外界的温差。
q H (u | M u0 )
物表温度
外界温度
此定律成立的条件是：物体表面与外界温差不太大 方法：小块分析法 由能量守恒：
f (M , t ) t 0
r 边界点M
【例1】细杆纵振动，x=0端固定，求两种情况下 的x=l端的边条件。 (1) 受力f (t)，(2)不受力, 解：纵振动：杆上各点均在平衡位置附近作往复 运动，振动方向沿杆的轴向。
x=0 端 ：第一类齐次边条件 u(0,t)=0 x=l 端： （1）受力F (t) 注： F (t)仅作用于x=l端
方程反映的是同一类物理问题的共性，跟具体条
件无关—泛定方程。具体问题的个性是由边界条
件和初始条件反映的；要完全确定地解出一个具
体的物理问题，还必须考虑边界条件和初条件－ 定解条件。
§3 定解条件
某系统物理状态的最后确定不仅取决于系统内部的 物理过程，而且还取决于系统周围环境和初始状态。 物理 t>0时刻系统内部的物理过程 t>0时刻系统的周围环境 t=0时刻系统的初始状态 数学 泛定方程 边界条件 初条件
2
x l
令→0，左→0， F (t ) YSux |l 0
F (t ) u x (l , t ) , YS
t 0
所以，受力时：u(0,t)=0， ux (l ,t)=F(t)/YS (2) 不受力（自由端） 可视为F (t)=0，ux (l ,t)=0 ，t > 0 所以，不受力时: u(0,t)=0， ux (l ,t)=0
H H 或： (u x u) u0 k k x l