第一期课题：二次根式的综合运用一、知识解析1、二次根式的主要性质：（1）、)0(0≥≥a a ； （2）、()()02≥=a a a ；（3）、()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a ；（4）、积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ；（5）、商的算术平方根的性质：()0,0>≥=b a bab a ； （6）、若0≥>b a ，则b a >。

例1、x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)x x 232--+； (2)11+--x x ； (3) 242-+x x 。

思路点拨：本题考查二次根式的意义.解：(1) 要使x x 232--+在实数范围内有意义，则必有⎩⎨⎧≥-≥+02302x x ，∴232≤≤-x ∴当232≤≤-x 时，x x 232--+在实数范围内有意义；(2) 要使11+--x x 在实数范围内有意义，则必有⎩⎨⎧≠+≥-010x x ， ∴10-≠≤x x 且∴当10-≠≤x x 且时，11+--x x 在实数范围内有意义； (3) 要使242-+x x 在实数范围内有意义，则必有⎩⎨⎧≠-≥+02042x x ，∴22≠->x x 且∴当22≠->x x 且时，242-+x x 在实数范围内有意义.小结：这道题目要求的是二次根式有意义时，未知数的取值范围。

假如未知数是在二次根号中，则需要利用算术平方根的非负性进行说明，若刚好未知数存在于分式的分母部分，则需要使分母不等于0，例如（2）、（3）中的情况讨论。

例2、根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)x x x -=+-1122； (2)()()13222=-+-x x 。

思路点拨：二次根式重要性质()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a 的运用。

解：(1)()x x x x x -=-=-=+-1111222，01≤-∴x ，∴1≤x 。

(2)()()1323222=-+-=-+-x x x x ，⎩⎨⎧≤-≥-0302x x ，∴32≤≤x小结：解答这两道题目，要求理解二次根式有意义的条件，并且要理解绝对值符号的去除方法。

例3、当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．提示：注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）．解：原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-＝)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1． 当x ＝1－2时， 原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221ax +＝x1．2、二次根式的运算（1）二次根式的乘除运算Ⅰ 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

Ⅱ 注意知道每一步运算的算理； Ⅲ 乘法公式的推广：（要注意括号内的限制条件）（2）、二次根式的加减运算（注意最简二次根式的理解）先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； （3）、二次根式的混合运算Ⅰ、对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；Ⅱ、 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例4、计算：(1)、x x xx 31246÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-； (2)、a ab a b ab a 3132763532+- (b≥0) 思路点拨：(1)计算时首先把各个二次根式化为最简二次根式，再用整式的运算法则运算；(2)如果可以约分化简或者乘方化为有理数，那么可以先运算再化简；(3)除法不能直接约分化简的，应将除法转化为乘法； (4)适当可以借用乘法公式化简运算过程。

解：(1)原式=xx x x 311246⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-(2) ）∵成立且a b 31,0≥， ∴0≥a，∴ 原式a ab a a b a ab 331333635⋅+⋅-=a ab aab ab ab 32113215=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=小结：计算过程中，如果二次根式可以化为最简二次根式，那么必须先化简，这样可以让计算根简便；化简二次根式的时候必须注意准确性；二次根式的混合运算要注意运算顺序，运算法则的使用及注意结果要化成最简形式。

例5、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简()()()()2222b ac c b a c b a c b a --+--+-++++。

思路点拨：利用三角形任意两边之和大于第三边和a a =2进行化简。

解：∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴原式b a c c b a c b a c b a --+--+-++++=小结：这道题目涉及到实际运用，那么，解答这道题目，必须先掌握好三角形三边大小关系和如何去掉绝对值符号的方法。

三角形两边和大于第三边、两边差小于第三边，这个定理可以确定原式中绝对值号里面数的符号。

去掉绝对值符号，还要理解，如果绝对值符号里面的数据为非负数，则绝对值符号可以直接去掉；若绝对值符号里面的数据为负数，则去掉绝对值号后，必须化为相反数。

例6、已知01064422=+--+y x y x ，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x y x x x y x y x x 51932232的值。

思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即21=x ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=0()()3,21312096144010644222222==∴=-+-∴=+-++-=+--+y x y x y y x x y x y xx y xx x y x y x x 51932232+-+=∴原式xyx x xy x x xy x x 652+=+-+=当x=21，y=3时，原式63422362121+=+⨯= 例7、已知：如图，每个小方格的边长都为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离等于多少？解：连接AC 、BC ，AB 的长为103122=+，设AB 边上的高为h ，则41021=⋅h ，1054108==∴h 。

即点C 到线段AB 所在直线的距离等于1054。

总结升华：对于此类问题，要注意勾股定理的应用.注意结合图形发现解决问题的办法，即利用数形结合的思想.二、课堂练习1、若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21，求x y y x ++2－x y y x +-2的值。

2、8、已知m 22212m m +-3、化简()2232144--+-x x x 得( )A.2B.-4x-4C.-2D.4x-4 4、计算()128122----5、m 、n ，使22m n a +=且mn =a ±将变成222m n mn +±，即变成2()m n ±开方，从而使得化简。

例如，()()()22223322236223625+=++=++=±=请仿照上例解下列问题：（1 （26、已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 提示：先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +- ＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．。