二次根式◆【课前热身】1．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．3 2．下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）ABCD 3．3最接近的整数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．54. ）A ．3-B ．3或3-C ．9D ．35.计算18－8＝___________．【参考答案】◆【考点聚焦】1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式.掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；2.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化.1．二次根式a ≥0）叫做二次根式． 2．最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4．二次根式的性质①（2=a （a ≥0）；│a │=(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩；a ≥0，b ≥0）；=（b ≥0，a>0）． 5．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式． ◆【备考兵法】（本知识点涉及到的常用解题方法）1.考查最简二次根式、同类二次根式概念.有关习题经常出现在选择题中.2.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多. 二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． ◆【考点链接】 1．二次根式的有关概念⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ． ⑵ 最简二次根式被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质 ⑴； ⑵()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；⑶ =ab （0,0≥≥b a ）；⑷=ba（0,0>≥b a ）. 3．二次根式的运算 (1) 二次根式的加减：①先把各个二次根式化成 ；②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变. ◆【典例精析】 例1 填空题： （1x 的取值范围是_______．（2）实数a ，b ，c a －b │=______．【解答】（1）由x －3≥0－2≠0，得x ≥3且x ≠7． （2）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │－a ，－│a －b │=a －ba －b │．例2 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A BC（2）在根式 ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)（3）已知a>b>0，的值为（ ）A ．2B ．2C ．12【解答】（1，∴A 错．B 正确．|b =│a ∴C 错，而显然，D 错，∴选B ． （2）选C ．（3）∵a>b>0）2）2=a+b －21,22===，故选A ．例3 (贵州安顺)先化简，再求值：244(2)24x x x x -+⋅+-，其中x =【答案】22(2)4=(2)2(2)2x x x x --∙+=-原式或(2)(2)[]2x x +-x 22441222x --==【解析】遇到此种问题，要注意观察整个式子，然后合理运用分解因式的方法进行化简，得到最简式子后，代入求值.◆【迎考精练】 一、选择题1. (湖北武汉)函数y =x 的取值范围是（ ）A ．12x -≥B ．12x ≥C ．12x -≤D ．12x ≤2. （湖北荆门）2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．33. （湖北黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）ABCD4. （四川眉山）2的值()A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间D ．在4到5之间5. （湖南益阳）在电路中，已知一个电阻的阻值R 和它消耗的电功率P.由电功率计算公式RU P 2= 可得它两端的电压U 为 （ ）Ａ．P RU =Ｂ．RP U = Ｃ．PR U = Ｄ．PR U ±=6. （新疆）若x y ==xy 的值是（ ）A ．B ．C ．m n +D ．m n -二、填空题1.（河南省）16的平方根是 .2.（山西省）= ．3.（2009年辽宁铁岭）函数y =自变量x 的取值范围是 ．4.（广西崇左）当x ≤0时，化简1x --的结果是 ．5.（湖北襄樊）= ．6．(上海市)= ． 7．（黑龙江大兴安岭）计算：=-2712 ．8.（广东佛山）（1A．．2E ．0 问题的答案是（只需填字母）： ；（29.（福建福州）小的整数 .10.（湖南湘西自治州）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a ※b =ba ba -+，如3※2=52323=-+．那么12※4= 11．（浙江嘉兴）当2-=x 时，代数式1352--x x 的值是 ． 三、解答题1.(广东梅州)计算：1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°．2.（湖南邵阳）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，32，132+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：35＝5535553＝⨯⨯；（一） 32＝363332＝⨯⨯（二） 132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131313222---＝）（）（ （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化。

132+还可以用以下方法化简：132+＝131313131313131322-+-++-+-＝））（（＝）（＝（四） （1)请用不同的方法化简352+。

（2) ①参照（三）式得352+＝______________________________________________；②参照（四）式得352+＝_________________________________________.（2）化简：12121...571351131-+++++++++n n . 3.（山东威海）先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中232a b =-=．4.（2009年辽宁朝阳）先化简，再求值：2112x x x x x ⎛⎫++÷- ⎪⎝⎭，其中1x =．5.（湖南怀化）先化简，再求值：()20tan 60a ab a b b a b-⨯--- ·，其中1a b ==，6.（山东泰安）先化简、再求值：33)225(423-=---÷--a a a a a ，其中.【参考答案】选择题1.B2.C [解析]本题考查二次根式的意义，由题意可知1x=，1y=-，∴x－y=2，故选C．3.C4.C5.C6.D填空题1. ±42.3 x>-4. 1 【解析】二次根式的性质及绝对值的化简，＝ｘ，∵x≤0，∴原式=1-x+x=15.=6.557. 3-8. （1）A D E、、；（2）设这个数为x，则x a=（a为有理数），所以x=（a为有理数）．注：无“a为有理数”扣1分；写x=视同x=9. 答案不唯一，小于或等于２的整数均可，如：2，1等.10. 1 211. 5 解答题1.解：112)4cos30|3-⎛⎫++-⎪⎝⎭°．1342 =++⨯-4=+4=2. 解：（1=====（2）原式+……3. 解：2222222()()(2)3223a b a b a b a a ab b a ab b a++-+-=+++---ab=．当2a=-2b=时，原式22(22)(2)1=-=--=4. 解：原式=221212x x xx x+--÷=12(1)(1)x xx x x++-=21x-．将1x=代入上式得原式2==．5. 解：()20tan 60a ab a b b a b -⨯--∙-()1a a b b a b-=⨯--a b =-112a b ==∴==- ，原式6. 解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-÷--)2()2)(2(5)2(23a a a a a =292)2(23a a a a --∙-- =)3)(3(2)2(23a a a a a -+-∙--=)3(21+-a当63)333(2133-=+--=-=时，原式a。