立体几何练习题
一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）
1.列命题是真命题的是( )
A.空间不同三点确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内
2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于( )
A.30°
B.30°或150°
C.150°
D.以上结论都不对
3.如右图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC和平面α的交线是( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线AB
D.直线CD
4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是( )
5.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是( )
①a∩b=∅且a不平行于b ②a⊂平面α,b⊂平面β且α∩β=∅③a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂平面α且b⊂平面α成立
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为…( )
A.180°
B.90°
C.60°
D.45°
7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是( )
A.MN>a
B.MN=a
C.MN<a
D.不能确定
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )
A.
510 B.5
15
C.54
D.32
9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P 在线段AB 上,动点Q 在线段CD 上,则
P,Q 两点之间的最小距离为( ) A.1 B.
2
3
C.2
D.3 1． 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；
②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；
④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
2.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则
n m ||其中真命题的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个
命题：
①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥；
③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；
④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂。

其中真命题是
A ．①和②
B ．①和③
C ．③和④
D ．①和④
4．已知直线n m l 、、
及平面α，下列命题中的假命题是 A ．若//l m ，//m n ，则//l n . B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.
C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.
D ．若//l α，//n α，则//l n .
5．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成
立的是
A ．BC ∥平面PDF
B ．DF ⊥平面PAE
C ．平面PDF ⊥平面ABC
D ．平面PA
E ⊥平面ABC 6．有如下三个命题：
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；
③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 7．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D ．垂直于同一个平面的两个平面平行 8．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：
①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m
其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；
④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；
⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
A ．18对
B ．24对
C ．30对
D ．36对
11．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C
的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．7个 13．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是
A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα
B ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,m
C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,
D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,
14．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的
两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 A ．①是真命题，②是假命题 B ． ①是假命题，②是真命题 C ． ①②都是真命题 D ．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
三、计算题
1． 如图1所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，3417
15
=
CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.
如图1
P
A
C
B F E
2. 已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60。

（1）证明：BC PA ⊥；
（2）求底面中心O 到侧面的距离.
3 如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点
(Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面;
(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值
P
B
C
A
O
C 1B 1
A 1
A
B
C D
4．如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.
5． 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小
F
E
D C B
A A B
C
D
P
M。