第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TTk k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。

(4) ;1000210032104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛解：4)1(1210032104321-=----------=-λλλλλλA I 所以，特征值为：11=λ(四重根)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-00002000320043201A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)0,0,0,1(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：Tk )0,0,0,1(1(01≠k )(5) ;111122254⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----解：3)1(111122254-==--+--=-λλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001101010111322531 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,1(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：Tk )1,1,1(1-(01≠k )(6) ;020212022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----解：)2)(4)(1(20212022+--==--=-λλλλλλλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根), 42=λ(单根), 23-=λ(单根),⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0001201011202020211 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)2,1,2(T--因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：Tk )2,1,2(1--(01≠k )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0002102014202320222 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)1,2,2(T-因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：Tk )1,2,2(2-(02≠k )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001101022202320243 A I λ所以，0)(3=-x A I λ的基础解系为：.)2,2,1(T因此，A 的属于3λ的所有特征向量为：Tk )2,2,1(3(03≠k )2. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=x A 44174147的特征值31=λ(二重)，122=λ, 求x 的值，并求其特征向量。

解：123377++=++x 4=∴x⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0000001441441441443 A I所以，0)3(=-x A I 的基础解系为：.)4,0,1(,)0,1,1(TT-因此，A 的属于3的所有特征向量为：TTk k )4,0,1()0,1,1(21+-(21,k k 为不全为零的任意常数)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00011010184415414512 A I所以，0)12(=-x A I 的基础解系为：.)1,1,1(T--因此，A 的属于12的所有特征向量为：Tk )1,1,1(3--(03≠k )3. 设21,x x 是矩阵A 不同特征值的特征向量，证明21x x +不是A 的一个特征向量。

证：（反证法）若21x x +是A 的属于特征值λ的一个特征向量，21,x x 是A 的属于特征值21,λλ的特征向量且21λλ≠，则：2211212121)()(x x Ax Ax x x A x x λλλ+=+=+=+所以，0)()(2211=-+-x x λλλλ21,x x 属于不同特征值 21,x x ∴线性无关0,021=-=-∴λλλλ即21λλλ==与21λλ≠矛盾。

所以，21x x +不是A 的一个特征向量。

4. 设321,,x x x 分别是矩阵A 对应于互不相同的特征值321,,λλλ的特征向量，证明321x x x ++不是A 的一个特征向量。

证：类似3题可证。

5. 证明对合矩阵A (即I A =2)的特征值只能为1或1-.证：0)1()1(2=-=-=-=-n I I I A I λλλλ2A ∴的特征值只有1.若λ为A 的特征值，则2λ为2A 的特征值A ∴的特征值只能为1或1-.6. 设A 可逆，讨论A 与*A 的特征值(特征向量)之间的相互关系。

解：1-*=A A A∴若,x Ax λ=则x Ax A λ=*.7. 若,1B AP P =-问：I B P I A P 2)2(1-=--是否成立？解：成立。

8. 已知,2001~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∧A 求).det(I A - 解：,~∧A 相似矩阵具有相同的特征值)2)(1(-+=-∴λλλA I2)21)(11()1()det(2-=-+=--=-A I I A9. 已知,2001,23121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-AP P P 求.nA 解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--n nn nAP P P A P 200)1()(11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅--+-⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴+++++-21111212)1(323)1(62)1(223)1(2200)1(n n n n n n n n n nn P P A*10. 设x AP P B ,1-=是矩阵A 属于特征值0λ的特征向量。

证明：x P 1-是矩阵B 对应其特征值0λ的一个特征向量。

证：AP P B x Ax 10,-==λ)()(10011111x P x P Ax P x APP P x P B ------====∴λλ*11. 设A 为非奇异矩阵，证明AB 与BA 相似。

证：A 为非奇异矩阵 1-∴A 存在BA A AB A =-)(1∴AB 与BA 相似*12. 设,~,~D C B A 证明：.00~00⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B C A 证：D C B A ~,~ ∴存在可逆矩阵Q P ,, 使得D CQ Q B AP P ==--11,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----D B CQ Q APP Q P C A Q P Q P C A Q P 000000000000000011111.00~00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴D B C A *13. 证明：m 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01010 J 只有零特征值，且特征子空间是mR 的一维子空间，并求它的基。

解：0==-m J I λλJ ∴只有零特征值。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-01010 J0=-∴Jx 的基础解系为：.)0,,0,1(T14. 若A I +可逆，A I -不可逆，那么，关于A 的特征值能做出怎样的断语？解：A I + 可逆，A I -不可逆0,0=-≠+∴A I A I∴1-不是A 的特征值，1是A 的特征值。

15. 若,0)det(2=-A I 证明: 1或1-至少有一个是A 的特征值。

证：A I A I A I -+=-=)det(02 0=+∴A I 或0=-A I∴1或1-至少有一个是A 的特征值。

16. 在第1题中，哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵A , 求矩阵P 和对角矩阵∧, 使得.1∧=-AP P解：由矩阵可对角化的条件及第1题的求解过程易知：(1), (6)可对角化。

(1) ).2373,2373(,37137166-+=∧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=diag P (2) ).2,4,1(,212221122-=∧⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=diag P17. 主对角元互不相等的上（下）三角形矩阵是否与对角阵相似（说明理由）？解：可以，因为有n 个互不相等的特征值。

18. 设n 阶矩阵A 的2n 个元素全为1，试求可逆矩阵,P 使AP P 1-为对角阵，并写出与A 相似的对角阵。

解：1112121)(0000111)(),,(111111111)(),,(111111111--=-=++-------=++---------=-n n n n n r r r r n r r r r A I λλλλλλλλλλλλ所以，特征值为：n =1λ(单根)，02=λ(1-n 重根)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-0000110010101001111111111n n n A nI所以，0)(=-x A nI 的基础解系为：.)1,,1,1(T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-000000111111111111 A所以，0=-Ax 的基础解系为：.)1,0,,0,1(,,)0,,0,1,1(TT--所以，,1001010101110011⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=P 与A 相似的对角阵为：).0,,0,(1 n diag AP P =-19. 已知4阶矩阵A 的特征值为11=λ(三重)，;32-=λ对应于1λ的特征向量有,)1,1,1,0(,)0,1,1,1(,)0,0,1,1(321T T T x x x --=--=-=对应于2λ的特征向量为.)1,1,0,0(4T x -=问：A 可否对角化？如能对角化，求出A 及n A (n 为正整数)。