初中数学难题集锦
1．（本小题满分10分）
如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°.
⑴求∠A 的度数；
⑵若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积.
2．（本小题满分10分）
已知抛物线2
y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线1
12
y x =-
-上，且过点A (4，0)． ⑴求这个抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.
⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使AD CD -的值最大，请直接写出点D 的坐标.
3．（本小题满分12分）
已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒．
⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值；
⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
图1Q
P
D C
B A
参考答案
1．（本小题满分10分）
⑴解：连结OC，∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.
(1分)
∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°. …………………(2分)
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°. ………………(4分)
⑵∵CF⊥直径AB，CF＝3
4，∴CE＝(5分)
∴在Rt△OCE中，OE＝2，OC＝4. ……………………(6分)
∴
2
BOC
6048
3603
S
π
π
⨯
扇形
＝＝，EOC
1
2
2
S⨯⨯
V
＝…………………………(8分)
∴
EOC
BOC
S S Sπ
V
阴影扇形
8
＝－＝－
3
…………………………………………………(10分)
2．（本小题满分10分）
⑴∵抛物线过点(0，0)、(4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线2
x=. ………………………………………………………(1分)
∵顶点在直线
1
1
2
y x
=--上，∴顶点坐标为(2，－2). …………………………(3分)
故设抛物线解析式为2
(2)2
y a x
=--，
∵过点(0，0)，∴
1
2
a=，∴抛物线解析式为2
1
2
2
y x x
=-………………………(5分)
⑵当AP∥OB时，
如图，∠BOA＝∠OAP＝45°，过点B作BH⊥x轴于H，则OH＝BH.
设点B(x，x)，故2
1
2
2
x x x
=-，解得x＝6或x＝0(舍去)…………………………(6分)
∴B(6，6). …………………………………………………………………………(7分)
当OP∥AB时，同理设点B(4－x，x)
故21
(4)2(4)2
x x x =
---，解得x ＝6或x ＝0(舍去)，∴B (－2，6) .……(8分)
⑶D (2，－6).………………………………………………………………………………(10分)
3．（本小题满分12分）
解：⑴如图1，分别过点作AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N ，∵BC ＝20，∠C ＝180°－∠ABC ＝60°，
∴CN ＝10＝DM ，BN ＝103，∴CD ＝60.
∵△CPQ ∽△DAQ ，∴CP CQ
DA DQ
=， ∴20220602t t
t
=-－，∴110t =，260t =(不合题意)， ∴t ＝10.………(5分)
图1 图2
⑵当点P 在线段BC 上时，如图2，过P 作FG ⊥CD 于G ，交AB 延长线于F. ∴PF ＝
32t ，PG ＝3(20)2
t -， ∴11032
ABP S AB PF t =
⨯=V ，13
(20)22CPQ S CQ PG t t =⋅=-V ，
ADQ CPQ ABP ABCD S S S S S =V V V 梯形－－－＝5003－1
602)1032
t ⨯（－
H
图1Q
P D C B
A M N
图1Q P D C B A F G
(20)t -
－
220400)t t -+. (020t <≤)(8分) 当点P 在线段BC 的延长线上时，如图3，过P 作PH ⊥AB 于H ，则
设AP 与CD 交于点E ，
∵EC PC AB PB
=，∴40800t EC t -=, ∴QE ＝CQ －CE ＝2
240800t t t
-+.
∴y ＝310800
402212⨯+-⨯
t
t t =
t
t t )
40020(3102+-.
(2030t <≤) ………………………………………(12分)。