初三数学圆的难题3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC 边于点E．（1）求证：I D=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，=，DE y=，当点A在优弧上运动时，AD x求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．(第4题图)4 如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △（3分）（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分） （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ． 求证：CH 是⊙O 的切线． （3分）D B A O CE · 图10 D B A O C E 图11 5 如图10，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为BC 上的一动点．（1）问添加一个什么条件后，能使得BD BE BC BD？请说明理由； （2）若AB ∥OD ，点D 所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图11，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB 是什么特殊的四边形？证明你的结论．6 如图1，已知正方形ABCD 的边长为M 是AD 的中点，P 是线段MD 上的一动点（P不与M ，D 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交BC 于点F ，切点为E ．（1）除正方形ABCD 的四边和⊙O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？（2）求四边形CDPF 的周长；（3）延长CD ，FP 相交于点G ，如图2所示． 是否存在点P ，使BF*FG=CF*OF ？如果存在，试求此时AP 的长；如果不存在，请说明理由．· M · A F C O P E D 图1 · P DO G E M F B A C 图27 如图，在平面直角坐标系xoy 中，M 是x 轴正半轴上一点，M 与x 轴的正半轴交于A B ，两点，A 在B 的左侧，且OA OB ，的长是方程212270x x -+=的两根，ON 是M 的切线，N 为切点，N 在第四象限．（1）求M 的直径．（2）求直线ON 的解析式．（3）在x 轴上是否存在一点T ，使OTN △是等腰三角形，若存在请在图2中标出T 点所在位置，并画出OTN △（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T 的坐标）若不存在，请说明理由．y x B M A O N图 图1 解：（1）连结AD. ∵∠ABO=60°,∴∠ADO=60°…..1分由点A 的坐标为（3，0）得OA=3. ∵在Rt △ADO 中有 cot ∠ADO=OD OA,…………….2分 ∴OD=OA ·cot ∠ADO=3·cot60°=3×33=3. ∴点D 的坐标为（03）……………3分（2）DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ，理由如下:由（1）得3∴2222(3)323AD OD OA =+=+=又∵C 点坐标是（-1，0）, ∴OC=1.∴22221(3)2CD OC OD =+=+=………………4分 ∵AC=OA+OC=3+1=4,∴CD 2+AD 2=223)2=42=AC 2…………………5分 ∴∠ADC=90°,即AD ⊥DC.由∠AOD=90°得AD 为圆的直径.∴DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ……………6分ME F N（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.） （3）由二次函数图象过点O （0，0）和A （3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a ≠0）. 如图，作线段OA 的中垂线交△AOB 的外接圆于E 、F 两点，交AD 于M 点，交OA 于N 点.由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E 或F. ∵EF 垂直平分OA ， ∴EF 是圆的直径. 又∵AD 是圆的直径,∴EF 与AD 的交点M 是圆的圆心………….7分 由（1）、（2）得OA=3，3∴AN=12OA=32，AM=FM=EM=123∴222233(3)()22MN AM AN =-=-=.∴3333333∴点E 的坐标是(3233)，点F 的坐标是(32, 3)……..8分当点E 为抛物线顶点时，有32(3233, a=23.∴y=x(x-3).即y=2…………………………9分当点F 为抛物线顶点时，有3(3-3)a=-2,a=9.∴y=9x(x-3). 即y=239x233-x.故二次函数的解析式为y=33-x 2+23x 或y=239x 2233-x ….10分2 （1）2211π1π1144S=-=-； ········ 2分2222121ππ24228S ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ········· 4分223221221ππ22422416S ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ······· 6分（2）2008200720091π22S =-； ·········· 8分（3）111π22n n n S -+=-（n 为正整数）． ···· 10分3 (1) 证明： 如图，∵ 点I 是△ABC 的内心， ∴ ∠BAD =∠CAD ，∠ABI =∠CBI ． ………………2分∵ ∠CBD =∠CAD ， ∴∠BAD =∠CBD ． ……………………………3分∴ ∠BID =∠ABI +∠BAD =∠CBI +∠CBD =∠IBD ．∴ ID =BD ． ………………………5分(2)解：如图，∵∠BAD =∠CBD =∠EBD ， ∠D =∠D ， ∴△ABD ∽△BED ． …………………………7分∴ BD ADDE BD =． ∴ 22AD DE BD ID ⨯==． …………………8分∵ ID =6，AD =x ，DE =y ，∴ xy =36． ………………9分又∵ x =AD >ID =6， AD 不大于圆的直径10， ∴ 6<x ≤10．∴ y 与x 的函数关系式是36y x=．（610x <≤） …………………………10分说明：只要求对xy =36与6<x ≤10，不写最后一步，不扣分．4 （1）证明：∵C 是劣弧BD 的中点， ∴DAC CDB ∠=∠． ············ 1分 而ACD ∠公共， ∴DEC △∽ADC △． ········· 3分（2）证明：连结OD ，由⑴得DC ECAC DC=， ∵ 1.213CE AC AE EC ==+=+=， ∴2313DC AC EC ==⨯= ． ∴DC = ． ········································ 4分 由已知3BC DC ==AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒ ，∴222223312AB AC CB =+=+=． ∴3AB = ∴3OD OB BC DC ====， ∴四边形OBCD 是菱形．∴DC AB DC AB <∥，， ∴四边形ABCD 是梯形．5分 法一：过C 作CF 垂直AB 于F ，连结OC ，则3OB BC OC === ∴60OBC ∠=︒． ······································· 6分∴sin 60CF BC︒=，33sin 60322CF BC =︒==， ∴()(11393233222ABCDSCF AB DC ⨯梯形＝＋＝＋＝ ··········· 7分法二：（接上证得四边形ABCD 是梯形）又DC AB ∥ ∴AD BC =，连结OC ，则AOD △，DOC △和OBC △3的等边三角形··············· 6分 ∴AOD △≌DOC △≌OBC △，∴2393333AODABCDS S △梯形＝＝＝······················ 7分 （3）证明：连结OC 交BD 于G 由（2）得四边形OBCD 是菱形， ∴OC BD ⊥且OG GC =． ····························· 8分 又已知OB ＝BH ， ∴BG CH ∥． ······ 9分 ∴90OCH OGB ∠=∠=︒ ， ∴CH 是⊙O 的切线．10分5 解： （1）添加 AB =BD ························· 2分 ∵AB =BD ∴AB =BD ∴∠BDE =∠BCD ··· 3分 又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE ∽△BCD∴BD BEBC BD····························································· 4分 （2）若AB ∥DO ，点D 所在的位置是BC 的中点 ························································ 5分 ∵AB ∥DO ∴∠ADO =∠BAD ··· 6分 ∵∠ADO =∠OAD ∴∠OAD =∠BAD ∴DB =DC ·········································· 7分 （3）在（1）和（2）的条件下，．∵AB =BD =DC ∴∠BDA =∠DAC ∴ BD ∥OA又∵AB ∥DO ∴四边形AODB 是平行四边形 ········································ 9分 ∵O A =OD ∴平行四边形AODB 是菱形 ·············································· 10分6 解：（1）FB ＝FE ，PE ＝PA ········ 2分（2）四边形CDPF 的周长为FC ＋CD ＋DP ＋PE ＋EF ＝FC ＋CD ＋DP ＋PA ＋BF ··································· 3分＝BF ＋FC ＋CD ＋DP ＋PA ·································· 4分＝BC ＋CD ＋DA (5)＝×3＝··················································· 6 （3）存在． 7分若BF FG CF OF =,则BF CFOF FG=∵ cos ∠OFB ＝BFOF ，cos ∠GFC ＝CF FG∴ ∠OFB ＝∠GFC 又 ∵ ∠OFB ＝∠OFE∴ ∠OFE ＝∠OFB ＝∠GFC=60 8分∴ 在Rt OFB △中 FE ＝FB ＝tan 60OB＝1 ∴ 在Rt GFC △中CG＝()tan tan 60231tan 6063CF GFC CF ∠==-=-∴ 633DG CG CD =-=-∴ tan tan 30233DP DG PGD DG =∠==- ····· 9分 ∴ ()232333AP AD DP =-== ···· 10分7 解：（1）解方程212270xx -+=，得19x=，23x=A在B 的左侧 3OA ∴=，9OB =6AB OB OA ∴=-=OM∴的直径为6 ······································ 1分（2）过N 作NC OM ⊥，垂足为C ， 连结MN ，则MN ON ⊥ 31sin 62MN MON OM ===∠ 30MON ∴=∠又cos ON MON OM =∠cos3033ON OM ∴=⨯=在Rt OCN △中9cos30332OC ON ===1sin 30332CN ON ===N∴的坐标为93322⎛- ⎝⎭， 设直线ON 的解析式为y kx =3392x =3k ∴=∴直线ON 的解析式为33y x =-······················ 4分（3）如图2，1T ，2T ，3T ，4T 为所求作的点，1OT N △，2OT N△，3OT N △，4OT N △为所求等腰三角形．（每作出一种图形给一分） ····························· 8分30．（深圳）如图1，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－ 33 x － 533 与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长； （2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP :PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值；（3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．30．（1）、如图4，OE =5，2r =，CH =2（2）、如图5，连接QC 、QD ，则90CQD ∠=︒，QHC QDC ∠=∠，易知CHPDQP∆∆，故DP DQPH CH=， 322DQ =，3DQ =，由于4CD =，3cos cos 4QD QHC QDC CD ∴∠=∠==； （3）、如图6，连接AK ，AM ，延长AM ， 与圆交于点G ，连接TG ，则90GTA ∠=︒2490∴∠+∠=︒34∠=∠，2390︒∴∠+∠=由于390BKO ∠+∠=︒，故，2BKO ∠=∠；而1BKO ∠=∠，故12∠=∠在AMK ∆和NMA ∆中，12∠=∠；AMK NMA ∠=∠故AMKNMA∆；xD A B H CE M OF 图1x y D A BH C E M O 图2P Q 图3yMN AMAM MK =;图图。