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MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

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评语:
指导教师(签名) 年 月 日 说明:指导教师评分后,实验报告交院(系)办公室保存。

实验一 方程求根
一、 实验目的
用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ,b]上,或某一点附近的实根。

并比较方法的优劣。

二、 实验原理
(1)、二分法
对方程0)(=x f 在[a ,b]内求根。

将所给区间二分,在分点
2a b x -=判断是否0)(=x f ;若是,则有根2a
b x -=。

否则,继续判断是否0)()(<•x f a f ,若
是,则令x b =,否则令x a =。

否则令x a =。

重复此过程直至求出方程0)(=x f 在[a,b]中的近似根为止。

(2)、迭代法
将方程0)(=x f 等价变换为x =ψ(x )形式,并建立相应的迭代公式=+1k x ψ(x )。

(3)、牛顿法
若已知方程 的一个近似根0x ,则函数在点0x 附近可用一阶泰勒多项式))((')()(0001x x x f x f x p -+=来近似,因此方程0)(=x f 可近似表示为
+)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(')
(00x f x f 。

取x 作为原方程新的近似根1x ,然后将1x 作为0x 代入上式。

迭代公式为:=+1
k x -0x )(')(k k x f x f 。

三、 实验设备:MATLAB 软件
四、 结果预测
(1)11x = (2)5x = (3)2x =0,09052
五、 实验内容 (1)、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根,要求误差不超
过3105.0-⨯。

(2)、取初值00=x ,用迭代公式=+1
k x -0x )(')
(k k x f x f ,求方程0210=-+x e x 的近似根。

要求误差不超过3105.0-⨯。

(3)、取初值00=x ,用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。

要求误差
不超过3105.0-⨯。

六、 实验步骤与实验程序
(1) 二分法
第一步:在MATLAB 软件,建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件如下: function x=agui_bisect(fname,a,b,e)
%fname 为函数名,a,b 为区间端点,e 为精度
fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数,求fa
fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数,求fb
if fa*fb>0 error('两端函数值为同号');
end
%如果fa*fb>0,则输出两端函数值为同号
k=0
x=(a+b)/2
while(b-a)>(2*e) %循环条件的限制
fx=feval(fname,x);%把x代入代入函数,求fx
if fa*fx<0%如果fa与fx同号,则把x赋给b,把fx赋给fb
b=x;
fb=fx;
else
%如果fa与fx异号,则把x赋给a,把fx赋给fa
a=x;
fa=fx;
end
k=k+1
%计算二分了多少次
x=(a+b)/2 %当满足了一定精度后,跳出循环,每次二分,都得新的区间断点a和b,则近似解为x=(a+b)/2
end
第二步:在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0,即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2')
>> x=agui_bisect(fun,0,1,*10^-3)
第三步:得到计算结果,且计算结果为
(2)迭代法
第一步:第一步:在MATLAB 软件,建立一个实现迭代法的MATLAB函数文件如下:
function x=agui_main(fname,x0,e)
%fname为函数名dfname的函数fname的导数, x0为迭代初值
%e为精度,N为最大迭代次数(默认为100)
N=100;
x=x0; %把x0赋给x,再算x+2*e赋给x0
x0=x+2*e;
k=0;
while abs(x0-x)>e&k<N %循环条件的控制:x0-x的绝对值大于某一精度,和迭代次数小于N
k=k+1 %显示迭代的第几次
x0=x;
x=(2-exp(x0))/10 %迭代公式
disp(x)%显示x
end
if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数
第二步:在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0,即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2')
>> x=agui_main(fun,0,1,*10^-3)
第三步:得出计算结果,且计算结果为
以下是结果的屏幕截图
(3)牛顿迭代法
第一步:第一步:在MATLAB 软件,建立一个实现牛顿迭代法的MATLAB 函数文件=如下:
function x=agui_newton(fname,dfname,x0,e)
%fname为函数名dfname的函数fname的导数, x0为迭代初值
%e为精度,N为最大迭代次数(默认为100)
N=100;
x=x0; %把x0赋给x,再算x+2*e赋给x0
x0=x+2*e;
k=0;
while abs(x0-x)>e&k<N %循环条件的控制:x0-x的绝对值大于某一精度,和迭代次数小于N
k=k+1 %显示迭代的第几次
x0=x;
x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);%牛顿迭代公式
disp(x)%显示x
end
if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数
第二步:在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0,即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2')
>> dfun=inline('exp(x)+10')
>> x=agui_newton(fun,dfun,0,*10^-3)
第三步:得出结果,且结果为
以下是结果的屏幕截图
七、 实验结果
(1)11x = (2)5x = (3)2x =0,09052
八、 实验分析与结论
由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果,我们可以得出这样的结论:二分法要循环k=11次,迭代法要迭代k=5次,牛顿法
要迭代k=2次才能达到精度为3105.0-⨯的要求,而且方程0210=-+x e x 的精确解经计算,为, 计算量从大到小依次是:二分法,迭代法,牛顿法。

由此可知,牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。

而这三种方法中,牛顿法不仅计算量少,而且精确度高。

从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。

可是迭代法是局部收敛的,其收敛性与初值x0有关。

二分法收敛虽然是速度最慢,但也有自己的优势,可常用于求精度不高的近似根。

迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。

对与不同的题目,可以从三种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较好。

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