《数值分析》课程实验报告
用二分法和牛顿迭代法求方程的根
算法名称用二分法和牛顿迭代法求方程的根
学科专业机械工程
作者姓名xxxxxx
作者学号xxxBiblioteka xx作者班级xxxxxxxx
xx大学
二〇一五年十二月
《数值分析》课程实验报告
实验名称
用二分法和牛顿迭代法求方程的根
成绩
一、问题背景
在科学研究与工程计算中，常遇到方程（组）求根问题。若干个世纪以来，工程师和数学家花了大量时用于探索求解方程（组），研究各种各样的方程求解方法。对于方程f(x)=0，当f(x)为线性函数时，称f(x)=0为线性方程；当f(x）为非线性函数时，称式f(x)=0为非线性方程。对于线性方程（组）的求解，理论与数值求法的成果丰富；对于非线性方程的求解，由于f(x）的多样性，尚无一般的解析解法。当f(x)为非线性函数时，若f(x)=0无解析解，但如果对任意的精度要求，设计迭代方程，数值计算出方程的近似解，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能够满足实际要求。
fx=subs(ff,x,xk);
fa=subs(ff,x,a);
k=k+1;
iffx==0
y(k)=xk;
break;
elseiffa*fx<0
b=xk;
else
a=xk;
end
y(k)=xk;
end
plot(y,'.-');
gridon
（2）牛顿迭代法程序：
functionx=newton(xx,n)
对二分法和牛顿迭代法的观察和分析我们可以知道，二分法的优点是方法比较简单，编程比较容易，只是二分法只能用于求方程的近似根，不能用于求方程的复根，且收敛速度慢。而牛顿迭代法的收敛速度明显大于二分法的速度。
2、牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种逐次逼近的方法，其步骤是首先给定一个粗糙的初始值，然后用一个迭代公式反复修正这个值，知道满足要求为止。
四、主要代码
（1）二分法程序代码：
functiony=erfen1(m,n,er)
symsxxk
a=m;b=n;k=0;
ff=x^3+x-1;
whileb-a>er
xk=(a+b)/2;
Columns 6 through 10
0.682327803828019 0.682327803828019 0.682327803828019 0.682327803828019 0.682327803828019
Column 11
0.682327803828019
根据题目精度要求，故所求根为x=0.6823278。
x=zeros(1,n+1);
x(1)=xx;
fori=1:n
x(i+1)=x(i)-(x(i)^3+x(i)-1)/(3*x(i)^2+1);
end
五、实验结果及分析
（1）二分法：
在命令窗口下执行：
实验结果如下：
可以得到迭代区间中点数列分布及图像，数值如下：
ans =
[ 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875, 0.65625, 0.671875, 0.6796875, 0.68359375, 0.68164062, 0.68261719, 0.68212891, 0.68237305, 0.68225098, 0.68231201, 0.68234253, 0.68232727, 0.6823349]
依据题目要求的精度，则需做十七次，由实验数据知x=0.6823349即为所求的根。
（2）牛顿迭代法：
在命令窗口下执行：
>>format long
>>x=newton(1,10)
实验结果如下：
可以得到迭代列：
x =
Columns 1 through 5
1.000000000000000 0.750000000000000 0.686046511627907 0.682339582597314 0.682327803946513
二、数学模型
1.使用二分法求方程x^3+x-1=0在[0,1]内的近似根（误差<10^-5）。
2.使用牛顿迭代求方程x^3+x-1=0在[0,1]内的近似根，设置迭代格式为
三、算法描述
1、二分法：二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将汗根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{ }来逼近根x。