→→ ＋BA·CB，
2
由于→|BC|→＝ 5，AB⊥BC， 因此CA·CB＝5＋0＝5.
10．已知直线 ax＋y－2＝0 与圆心为 C 的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4 相交于 A，B 两点，且
△ABC 为等边三角形，则实数 a＝________.
答案：4± 15
3 解析：依题意，圆 C 的半径是 2，圆心 C(1，a)到直线 ax＋y－2＝0 的距离等于 ×2＝
短弧长与较长弧长之比为 1∶3，则 k＝( )
A. 2－1 或－ 2－1
B．1 或－3
C．1 或－ 2
D. 2
答案：B 解析：由题意知，圆的标准方程为 x2＋(y＋1)2＝4.
较短弧所对圆周角是 90°， 所以圆心(0，－1)到直线 x＋y－k＝0 的距离为 22r＝ 2.
1
即|1＋k|＝ 2，解得 k＝1 或－3. 2
从而|C C |＝ 32＋42＝5.
12
由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2，即 1＋ 25－m＝5，解得 m＝9，故选 C.
5．[2017·江西南昌模拟]已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y＝ 2－x2相交于 A，B 两
点，O 为坐标原点，当 S△AOB＝1 时，直线 l 的倾斜角为( )
答案：5 解析：解法一：由已知得，圆心 C(0,2)，半径 r＝ 5， △ABC 是直角三角形，|AC|＝3－02＋1－22＝ 10，|BC|＝ 5，
BC 5 ∴cos∠ACB＝AC＝ 10，
→→ →→ ∴CA·CB＝|CA||CB|cos∠ACB＝5.
解法二：→CA·→CB＝(→CB＋→BA)·→CB＝→CB
和 B，则弦长|AB|＝( )
A. 3
B．2
C. 2
D．4
答案：A
2
解析： 如图所示，∵PA，PB 分别为圆 O：x2＋y2＝1 的切线，
∴AB⊥OP. ∵P(1， 3)，O(0,0)，
∴|OP|＝ 1＋3＝2.
又∵|OA|＝1， 在 Rt△APO 中，cos∠AOP＝12，
∴∠AOP＝60°，
∴|AB|＝2|OA|sin∠AOP＝ 3.
4．若圆 C ：x2＋y2＝1 与圆 C ：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝( )
1
2
A．21
B．19
C．9
D．－11
答案：C
解析：圆 C1 的圆心 C1(0,0)，半径 r ＝1， 1
圆 C 的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，
2
所以圆心 C2(3,4)，半径 r2＝ 25－m，
7．若 a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 x2＋y2＝1 所截得的弦长为( )
1
A.2
B．1
2 C.2
D. 2
答案：D
|c| |c| 2
解析：因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
＝ a2＋b2
2|c|＝ 2 ，
( )2 2
因此根据直角三角形勾股定理，弦长的一半就等于 1－ 2 2＝ 2 ，所以弦长为 2.
由 x2＋y2＋2x－4y＋a＝0 得圆的圆心坐标为(－1,2)，
3
所以圆心到直线的距离为 2， 所以|－k－k22＋＋21k＋3|＝ 2，解得 k＝1， 所以直线 l 的方程为 x－y＋5＝0. 9．[2017·河北唐山模拟]过点 A(3,1)的直线 l 与圆 C：x2＋y2－4y－1＝0 相切于点 B， →→ 则CA·CB＝___ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ____.
2
3，
于是有|a＋a2a＋－12|＝ 3，即 a2－8a＋1＝0，解得 a＝4± 15.
11．若曲线 C ：x2＋y2－2x＝0 与曲线 C ：y(y－mx－m)＝0 有四个不同的交点，则实数
1
2
m 的取值范围是为________．
( 答案： －
3
3 ，0)∪(
3
)
0， 3
解析：整理曲线 C1 的方程得，(x－1)2＋y2＝1，故曲线 C 为以点 C (1,0)为圆心，1 为
A．150°
B．135°
C．120°
D．不存在
答案：A 解析：由于 S△AOB＝1× 2× 2sin ∠AOB＝1，
2 ∴sin ∠AOB＝1，∴∠AOB＝π2 ，
∴点 O 到直线 l 的距离 OM 为 1， 而 OP＝2，OM＝1，在直角△OMP 中，∠OPM＝30°，
∴直线 l 的倾斜角为 150°，故选 A. 6．[2017·山东青岛一模]过点 P(1， 3)作圆 O：x2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A
8．直线 l 与圆 x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点为(－
2,3)，则直线 l 的方程为( )
A．x＋y－3＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0
D．x－y－5＝0
答案：C
解析：设直线的斜率为 k，又弦 AB 的中点为(－2,3)，
所以直线 l 的方程为 kx－y＋2k＋3＝0，
是( ) A．－2
B．－4
C．－6
D．－8
答案：B
解析：将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径
r＝ 2－a， 圆心到直线 x＋y＋2＝0 的距离 d＝|－1＋1＋2|＝ 2， 2
故 r2－d2＝4，即 2－a－2＝4，所以 a＝－4，故选 B.
3．[2017·辽宁大连期末]圆 x2＋y2＋2y－3＝0 被直线 x＋y－k＝0 分成两段圆弧，且较
1
1
半径的圆；
曲线 C2 则表示两条直线，即 x 轴与直线 l：y＝m(x＋1)，显然 x 轴与圆 C 有两个交点，
1
|m1＋1－0|
依题意知直线 l 与圆相交，故有圆心 C 到直线 l 的距离 d＝
1
m2＋1
＜r＝1，解得 m
∈( 3 3) －3，3 ， 4
又当 m＝0 时，直线 l 与 x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去．
课时跟踪检测(五十)
[高考基础题型得分练] 1．[2017·浙江温州十校联考]对任意的实数 k，直线 y＝kx－1 与圆 C：x2＋y2－2x－2
＝0 的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交
D．以上三个选项均有可能
答案：C 解析：直线 y＝kx－1 恒经过点 A(0，－1)，圆 x2＋y2－2x－2＝0 的圆心为 C(1,0)，半 径为 3，而|AC|＝ 2＜ 3，故直线 y＝kx－1 与圆 x2＋y2－2x－2＝0 相交． 2．已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值