长沙市一中2020届高三月考试卷(一）
数学（理科）
时量：120分钟 满分:150分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={3
|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是A. 4 B. 3
C. 2
D. 1
2.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且
5=⋅z z ,则=z
A. 2-i
B.-l + 2i
C.-1-2i
D.-2+3i
3.设R x ∈，则“1<2
x ”是“1<lg x ”的 （B) A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a=(l ，0)，b=(-3,4)的夹角为θ,则θ2sin 等于 A. 257-
B. 257
C. 2524-
D. 25
24
5.设4
3
432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是
A. a<b<c
B. a<c<b
C. b<c<a
D. c<b<a
6.函数||lg )33()(x x f x
x
-+=的图象大致为 （D)
7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填 A. i>200? B. i>201? C. i>202? D. i>203?
8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动
物 (鼠、牛、
虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位
同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A. 50 种 B. 60 种 C. 70 种
D. 90 种
9.将函数)62sin(2)(π
-
=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C) A.函数)(x g 的最小正周期是2
π
B.函数)(x g 的图象关于直线12
π
-=x 对称
C.函数)(x g 在)2
,6(π
π上单调递减 函数)(x g 在)6
,
0(π
上的最大值是1
10.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2
两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=a
A.-1
B. 0
C. 1
D. 3 11.设函数⎩⎨
⎧=为无理数
为有理数x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：
①1))((,=∈∀x f f R x ;
②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃; ③函数)(x f 是偶函数； ④函数)(x f 是周期函数；
⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.
12.已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS = DC=1，当三棱锥
D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为 A.
35π B. π2 C. π5 D. 3
20π
二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
把各题答案的最简形式写在题中的横线上。
13.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()3(x f x f =+，且当)2
3
,0[∈x 时，2
)(x x f -=，则=)2
11(f 14.已知△ABC 是等腰直角三角形，|AC|=|BC| =1，)(2CB CA CP +=，则=⋅)BP AP .
15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求兰角形面积的方法以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。
”如果把
以上这段文字写成公式就是)]2
([412
2222b c a c a S -+-=，其中a,b,c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若
sin C=2sin AcosB ，且b 2
,2,c 2
成等差数列，则△ABC 面积S 的最大值为
5
5
2. 16.若),0(,),,0(21e x x e m ∈∃∈∀，且21x x ≠，使得22112
ln ln 2)2(x ax x ax m -=-=+-，则实数a 的取值
范围是 （e 为自然对数的底数）.
三、解答题:本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知△ABC 是的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足b
c
b a B A 2cos cos =
+且4=b . (1)求角B ；
(2)求△ABC 周长的最小值. 18.(本小题满分12分）
已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，AC∩BC=0， P B⊥AC，PA= PB=AB=2CD=22，AC=3. (1)证明：平面PBD 丄平面ABCD ；
(2)点E 是棱PC 上一点，且OE//平面PAD,求二面角E —0B —A 的正弦值. 19.(本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C: )0>,0>(122
22b a b
y a x =+左、右焦点分别为F1,F2 ,P 为椭圆C
上一点，且PR 垂直于x 轴， 连结并延长交椭圆于另一点Q ，设F 1λ=.
(1)若点P 的坐标为(1，
2
3
)，求椭圆C 的方程； (2)若43≤≤λ,求椭圆C 的离心率的取值范围.
20.(本小题满分12分）
某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了 100天，这五家“农家乐”的收费榇准互不相同，得到的统计数据如下表，x 为收费标准(单位:元/日）为人住天数(单位:天），以频率作为各自的“人住率”，收费标准x 与y 人
住率、的散点图如图.
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列;
(2)令x z ln =，由散点图判断a x b y
ˆˆˆ+=与a z b y ˆˆˆ+=哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程;( b a
ˆ,ˆ的结果精确到0.1) (3)根据第(2)问所求的冋归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L 最大? (100天销售额L= 100×入住率×收费标准x ） 21.(本小题满分12分）
已知函数)0<(1)ln()(a a x x x f ++=.
(1)若函数)(x f 在定义域上为增函数，求a 的取值范围； (2)证明：cosx e <)(x
+x f .
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程θρcos 6=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标
系，直线l 的参数方程为t t y t x (sin 1,
cos 2⎩
⎨⎧+-=+=αα为参数）.
(1)若2
π
α=
，求曲线C 的直角坐标方程以及直线/的极坐标方程；
(2)设点P(2,-1)，曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求2
2
||||PB PA +的最小值. 23. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知|1||22|)(-++=x x x f 的最小值为t . (1)求t 的值；
(2)若实数b a ,满足t b a =+2
222，求2
24
1b
a +的最小值，
数学（理科）
一、选择题：
1.B
2.A
3.B
4.C
5.D
6.D
7.C
8.C
9.C 10.B 11.B 12.A 二、填空题： 13.
4
1 14.4 15.
5
5
2 16.
)<a e
5
e ≤ 17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.。