X’，根据矩阵变换的性质有
16
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
17
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v
2
15
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变 换变为一个已知向量。
Mx xM1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
21
特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的
0 –1
1
0
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
3
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量 平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
4
矩阵---几何变换的代数表示
1211101211(110)012
2 10 2011 1 11110(1)11
5
矩阵把平面上的任一个点 ，变成 平面上的另一个点。它是一个几何变 换，
6
中学常见的几种几何变换的矩阵表示
恒等变换 伸压变换 反射变换 切变变换 旋转变换 投影变换
7
伸压变换
1/2 0 01 10 0 1/2
8
反射变换
10 0 -1
-1 0 01
9
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
10
切变变换
11 01
10 21
11
旋转变换
0 -1 10
01 -1 0
12
投影变换
10 00
00 11
13
矩阵变换是线性变换
也就是
1)A()A 2)A()AA
A ( ) A A
18
逆变换与逆矩阵
反射变换之逆为反射变换
-1 0 01
压伸变换之逆为压伸变换 旋转变换之逆为旋转变换 切边变换之逆为切变变换
-1 0 01
19
两矩阵之积之逆的几何意义
0 –1 10
10 0 1/2
01 –1 0
10 02
20
线性方程组与变换
线性方程组 2 x y 1
x
3y
2
的矩阵形式 2 –1 x
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
23
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
24