定义：将每一点 P（x,y）沿着与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位，称为平行于 x 轴的切变变换。将每一点 P（x,y） 沿着与 y 轴平行的方向平移 kx 个单位，称为平行于 y 轴的切变变换。
研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P10 1.2.3.4
四、简单应用
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2.
在切变变换

：
1 2
0 1
作用下，直线
y=2x-1
变为
3.
在
A＝
0.5

2
1
1

作用下，直线
l
变为
y=-2x-3,则直线
l
为
4.在
1 1
0 0
对应的线性边变换作用下，椭圆
x2 2

y2 4
1变为


5.已知平面内矩形区域为 x1 i x2 j （0≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线
1 0
0 1
，记为
E2.
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二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义：规定二阶矩阵
A=
a c
b d


，与向量


x y
的乘积为

A

ax cx

by
dy

，即

A
＝
a c
b
d


x y

＝
ax cx
0
1

。求①点
A（1/5,3）在该变换作用下的像；
2
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答
案
：
1.

1 0
0 1
2.



1 2

3
2

3 2
1 2

3.
R360o
4.
0

0
a
a

5.

1 0
0
1

6.


y
'
x' x 2x
x.
14.一种线性变换对应的矩阵为
1 1
0 0
。①若点
A
在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电
A
的坐标；②解
释该线性变换的几何意义。
15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为 1 0
②圆 x2 y2 1上任意一点 P(x0 , y0 ) 在该变换作用下的像。
性变换对应的矩阵为
6.将椭圆 x2 y2 1绕原点顺时针旋转 45ｏ后得到新的椭圆方程为 34
7.在
1 1
0 0
对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1
变为
8.计算：
①

1 2
3 1
1 0
2 1
；④反射变
2
换：
1 0
0 1
；⑤投影变换：
1 0
0 0
五种变换作用下的新曲线方程。
进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。
【练习：P35】 【第二讲.作业】A.B.C.D.
1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ）
A.反射变换
B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换
AB

3.求

1 3
在经过切变变换
：A=
1 2
0 1
，及切变变换

：B=
1 0
2 1
两次变换后的像


。
1
4.设压缩变换
：A＝

2
0
0 1



，旋转变换
R90o
：B＝
0 1
1
0

，将两个变换进行复合

R90o


1 5 3 2



,


xo yo 2


第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算

1.数乘平面向量：设


x
y

，

是任意一个实数，则





x y

2.平面向量的加法：设

by dy

练习 2：
1.（1）
1 0
2 1
3 1
＝
（2）
1 0
2 1
1 3
＝
1 2. 1
0 2
x

y
1
=

1

，求

x y
三、二阶矩阵与线性变换
1.旋转变换
问题
1:P（x,y）绕原点逆时针旋转
4.平面内的一种线性变换使抛物线 y x2 的焦点变为直线 y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点 A 先作关于 x 轴的反射变换，得到点 A1,在把 A1 绕原点逆时针旋转 180o，得到点 A2，若存在一种反 射变换同样可以使 A 变为 A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
y
7. － 1
8.
1

2

1 2




1 2
1 2

9.（0，5）
10.（2，8）
2

2
11. 2 ， 2
2 2

2 2
12.

7 18

、

19 4

13.ｘ＝2/3
研究：P（x,y）关于 x 轴的反射变换下的象 P’(x’,y’)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍，（ k1 、 k2 均不为 0），这样的几何变换为伸
缩变换。 试分别研究以下问题： ①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
b1 a2
d1


c2
b2 d2

＝
b2 d2

，则
A
与
B
的乘积
【应用】
1.计算
1 2
-1 1 1 2
0 1
＝
2.A＝
cos sin
c
s in o s

，B＝
cos sin
- s in
c
o
s

，求
②. 将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义：将平面上每个点 P 对应到它在直线 l 上的投影 P’（即垂足），这个变换称为关于直线 l 的投影变换。
研究：P（x,y）在 x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
2
1

对应的线性变换作用下，点
P(2,1)的像的坐标为
1
10.已知点
A（2，－1），B（－2，3），则向量

AB
在矩阵

2
2
1 对应的线性变换下得到的向量坐标为 0

11.向量

a
在矩阵
A

1 0
2
1

的作用下变为与向量
1 1
平行的单位向量，则

a
6.P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7.
设
A

1 2x 1
x y

，
B


x2
z
4
x2 2

，且
A=B.则
x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵
A

1 2
＝
12.已知 A 5 3
1
2

4
，

a
＝
1

2

，

b
＝
3 4
，设




a

b
，




a

b
，①求

A
，
A


；
13.已知
A

1 1
0 2
，

a
＝
1 1
，

b
＝
x 1

，若
A

a
与
A

b
的夹角为
135o，求
怎么算出来的？
问题 2. P（x,y）绕原点逆时针旋转 30o 得到 P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象 P’； ②写出这个旋转变换的 方程组形式；③写出矩阵形式.
30o
问题 3.把问题 2 中的旋转 30o 改为旋转 角，其结果又如何？

2.反射变换
定义：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线 l 的对称点 P’的线性变换叫做关于直线 l 的反射。
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵