第六章 万有引力与航天（复习设计）★新课标要求1、理解万有引力定律的内容和公式。

2、掌握万有引力定律的适用条件。

3、了解万有引力的“三性”，即：①普遍性②相互性 ③宏观性4、掌握对天体运动的分析。

★复习重点万有引力定律在天体运动问题中的应用 ★教学难点宇宙速度、人造卫星的运动★教学方法：复习提问、讲练结合。

★教学过程（一）投影全章知识脉络，构建知识体系（二）本章要点综述 1、开普勒行星运动定律第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

即：32a k T= 比值k 是一个与行星无关的常量。

2、万有引力定律（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。

（2）万有引力定律公式：122m m F Gr=，11226.6710/G N m kg -=⨯⋅ （3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。

3、万有引力定律在天文学上的应用。

周期定律开普勒行星运动定律 轨道定律 面积定律 发现 万有引力定律 表述 G 的测定 天体质量的计算 发现未知天体人造卫星、宇宙速度 应用 万有引力定律（1）基本方法：①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：222Mm v G mm r r rω== ②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：2Mg G R=，R 为天体半径。

（2）天体质量，密度的估算。

测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2224Mm G m r r Tπ=得被环绕天体的质量为2324r M GT π=，密度为3223M r V GT Rπρ==，R 为被环绕天体的半径。

当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则23GT πρ=。

（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。

①由22Mm v G m r r=得v =∴r 越大，v 越小②由22Mm Gm rr ω=得ω=∴r 越大，ω越小③由2224Mm G m r r T π=得T =∴r 越大，T 越大（4）三种宇宙速度①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v 1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。

②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v 2=11.2km/s ，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。

③第三宇宙速度：v 3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。

（三）本章专题剖析1、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π 得2324GT r M π= 又ρπ⋅=334R M 得3233R GT r πρ= 【例1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。

这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t 。

试计算土星的质量和平均密度。

解析：设“卡西尼”号的质量为m ，土星的质量为M . “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.22)2)(()(T h R m h R Mm Gπ+=+，其中ntT =， 所以：2322)(4Gth R n M +=π． 又334R V π=， 3232)(3R Gt h R n V M +⋅⋅==πρ 2、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度：2002R GMg mg R Mm G=∴=Θ 轨道重力加速度：()()22h R GMg mg h R GMm h h +=∴=+Θ 【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M与卫星的质量m 之比M /m=81，行星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝3.6，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径R 0之比r /R 0＝60。

设卫星表面的重力加速度为g ，则在卫星表面有mg rGMm =2……经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。

上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。

解析：题中所列关于g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。

正确的解法是 卫星表面2R Gm ＝g 行星表面2R GM=g 0 即20)(R R M m =0g g 即g =0.16g 0。

3、人造卫星、宇宙速度：宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别）【例3】将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。

轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A ．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。

B ．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。

D ．卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。

解：由22Mm mv G r r=得v =而v r ω== 轨道3的半径比1的大，故A 错B 对，“相切”隐含着切点弯曲程度相同，即卫星在切点时两P轨道瞬时运行半径相同，又2GMa r =，故C 错D 对。

4、双星问题：【例4】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。

解析：设两星质量分别为M 1和M 2，都绕连线上O 点作周期为T 的圆周运动，星球1和星球2到O 的距离分别为l 1和l 2。

由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得对M 1：G 221RM M ＝M 1（Tπ2）2 l 1 ∴M 2＝21224GTl R π对M 2：G221RM M ＝M 2（Tπ2）2l 2 ∴M 1＝22224GTl R π两式相加得M 1＋M 2＝2224GTR π（l 1＋l 2）＝2324GTR π。

5、有关航天问题的分析：【例5】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H ＝3. 4⨯105m 的圆轨道上运行了47小时。

求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R =6.37⨯106m ，重力加速度g ＝9.8m/s 2） 解析：用r 表示飞船圆轨道半径r =H + R ==6. 71⨯106m 。

M 表示地球质量，m 表示飞船质量，ω表示飞船绕地球运行的角速度，G 表示万有引力常数。

由万有引力定律和牛顿定律得r m r GMm 22ω=利用G2R M＝g 得32r gR ＝ω2由于ω＝Tπ2，T 表示周期。

解得 T ＝R r π2gr ，又n =T t 代入数值解得绕行圈数为n =31。

（四）针对训练1．利用下列哪组数据，可以计算出地球质量：（ ） A ．已知地球半径和地面重力加速度B ．已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期C ．已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量D ．已知同步卫星离地面高度和地球自转周期 2．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A 、B 两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是 A ．天体A 、B 表面的重力加速度与它们的半径成正比 B ．两颗卫星的线速度一定相等 C ．天体A 、B 的质量可能相等 D ．天体A 、B 的密度一定相等3．已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s ，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度为 A ．22km/s B ．4 km/sC ．42 km/sD ．8 km/s4．2002年12月30日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空，按预定计划在太空飞行了6天零18个小时，环绕地球108圈后，在内蒙古中部地区准确着陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.若地球的质量、半径和引力常量G 均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的 A.离地高度 B.环绕速度 C.发射速度 D.所受的向心力 5．（1998年全国卷）宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。

经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。

若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。

求该星球的质量M 。

6．（2004年全国理综第23题，16分）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。

假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h ，速度方向是水平的，速度大小为v 0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。

已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r ，周期为T 。

火星可视为半径为r 0的均匀球体。

参考答案：1．A B 2．B 3．C 4．AB5．解析：设抛出点的高度为h ，第一次平抛的水平射程为x ，则有x 2+y 2=L 2 （1） 由平抛运动的规律得知，当初速度增大到2倍，其水平射程也增大到2x ，可得(2x )2+h 2=(3L )2（2）由以上两式解得h=3L （3）设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得h=21gt 2（4） 由万有引力定律与牛顿第二定律得mg R GMm=2（式中m 为小球的质量） （5） 联立以上各式得：22332GtLR M =。

点评：显然，在本题的求解过程中，必须将自己置身于该星球上，其实最简单的办法是把地球当作该星球是很容易身临其境的了。

6．以g ＇表示火星表面附近的重力加速度，M 表示火星的质量，m 表示火星的卫星的质量，m ＇表示火星表面出某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有g m r m M G''='20 ① r T m r Mm G 22)2(π= ②设v 表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v 1，水平分量仍为v 0，有h g v '=221 ③2021v v v += ④由以上各式解得2022328v r T hr v +=π ⑤。