【答案】(1) 3g 4 GR
(2) v
gR
(3) h
3
gT 2R2 4 2
R
【解析】
（1）在地球表面重力与万有引力相等：
G
Mm R2
mg
，
地球密度：
M V
M 4 R3
3
解得： 3g 4 GR
（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度， mg m v2 R
v gR
（3）天宫一号的轨道半径 r R h ，
G，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T． （1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m′的星体（视为质点） 对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2，试求 m′（用 m1、m2 表示）； （2）求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1 之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 ms 的 2 倍，它将有可能成为黑洞．若可 见星 A 的速率 v＝2.7×105 m/s，运行周期 T＝4.7π×104s，质量 m1＝6ms，试通过估算来 判断暗星 B 有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，ms＝2.0×103 kg）
据万有引力提供圆周运动向心力有： G
Mm
R h2
m
R
h
4 2 T2
，
解得： h
3
gT 2R2 4 2
R
3．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银 河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星 系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒 星之间的距离为 r，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为 G）
由以上各式得， r
m1 m2 m2
r1 ①
由万有引力定律得
FA
G
m1m2 r2
将①代入得 FA G
m1m23 m1 m2
r12
令
FA
G
m1m ' r12
，比较可得
m'
m23 m1 m2
2
②
（2）由牛顿第二定律有： G
m1m ' r12
m1
v2 r1
③
又可见星的轨道半径 r1
vT 2
④
速飞行列车” ( 以下简称“飞行列车” ) 的最大速度为 v1m 1000m / s ；取上海磁 悬浮列车的
最大速度为 v2m 100m / s ；参考上海磁悬浮列车的加速度，设“飞行列车”的最大加速度为 a 0.8m / s2 ．
1 若“飞行列车”在北京和昆明 ( 距离取为 L 2000km) 之间运行，假设列车加速及减
可见，
m23 6ms m2
2 的值随 n 的增大而增大，令 n=2 时得
n
6 n
2
1
ms
0.125ms
3.5ms
⑧
要使⑦式成立，则 n 必须大于 2，即暗星 B 的质量 m2 必须大于 2m1 ，由此得出结论，暗
星 B 有可能是黑洞． 考点：考查了万有引力定律的应用
【名师点睛】本题计算量较大，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相
m1
的物体，其在月球表面有：
G
Mm1 R2
m1g
G
Mm1 R2
m1g
月球质量： M gR 2 G
(2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为 m
由牛顿运动定律得：
G
Mm r2
m2π TFra bibliotek2r
G
Mm r2
m( 2 T
)2 r
解得：T 2 r r Rg
2．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形．2013 年 6 月， “神舟十号”与“天宫一号”成功对接，6 月 20 日 3 位航天员为全国中学生上了一节生动的物 理课．已知“天宫一号”飞行器运行周期 T，地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，“天 宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为 G．求： (1)地球的密度； (2)地球的第一宇宙速度 v； (3)“天宫一号”距离地球表面的高度．
解得： g 2v0 tan t
（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：
G
Mm R2
mg
可得： M gR2 2v0R2tan
G
Gt
【点睛】
本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转
的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄
星球表面的重力加速度，然后结合万有引力求解.
9．人类总想追求更快的速度，继上海磁悬浮列车正式运营，又有人提出了新设想“高 速飞
行列车”，并引起了热议 .如图 1 所示，“高速飞行列车”拟通过搭建真空管道，让列车在管
道中运行，利用低真空环境和超声速外形减小空气阻力，通过磁悬浮减小摩擦阻力，最大
时速可达 4 千公里 .我们可以用高中物理知识对相关问题做一些讨论，为计算方便，取“高
（1）卫星进入轨道后的加速度大小 gr； （2）卫星的动能 Ek。
【答案】（1） gR2 （2） mgR2
r2
2r
【解析】
【详解】
(1)设地球的质量为 M
，对在地球表面质量为 m 的物体，有： G
Mm R2
m g
对卫星，有：
G
Mm r2
mgr
解得： gr
gR2 r2
(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有： G
由运动学公式求出北京直接到达昆明的最短运行时间；匀速运行时，牵引力等于阻力 f，
列车所受阻力正比于空气密度、列车迎风面积及列车相对空气运动速率的平方，由功率公
式得 P=kSv3m ，可求出在“飞行列车”的真空轨道中空气的密度 1 与磁悬浮列车运行环境
中空气密度 2 的比值；由牛顿第二定律求出车内乘客对座椅压力的大小．
解;(1)“飞行列车”以最大加速度 a=0.8m/s2 加速到最大速度 v1m=1000m/s 通过的距离
x0
v1m 2 2a
625km
Mm r2
m
v2 r
卫星的动能为： Ek
1 2
mv2
解得： Ek
mgR2 2r
7．已知火星半径为 R，火星表面重力加速度为 g，万有引力常量为 G，某人造卫星绕火星 做匀速圆周运动，其轨道离火星表面高度等于火星半径 R，忽略火星自转的影响。求：
（1）火星的质量； （2）火星的第一宇宙速度； （3）人造卫星的运行周期。
【答案】(1) 2v0 tan (2) 2v0R2 tan
t
Gt
【解析】
【分析】
（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度．（2）物体在小球的表面 受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出．
【详解】
（1）物体做平抛运动，水平方向：
x
v0t
，竖直方向：
y
1 2
gt 2
由几何关系可知： tan y gt x 2v0
GMm
2
2R
m
2 T
2
2R
联立得T 4 R2 。 g
8．宇航员乘坐宇宙飞船靠近某星球，首先在距离该星球球心 r 的圆轨道上观察星球表面， 他发现宇宙飞船无动力绕星球的周期为 T；安全降落到星球表面后，他做了一个实验：如 图所示，在倾角 θ＝30º 的斜面上，以一定的初速度 v0 沿水平方向抛出一个小物体，测得 落点与抛出点间的距离为 L，已知引力常量为 G。求：
（1）月球的质量 M； （2）轨道舱绕月飞行的周期 T．
【答案】（1） M gR 2 （2）T 2 r r
G
Rg
【解析】
【分析】
月球表面上质量为 m1 的物体，根据万有引力等于重力可得月球的质量；轨道舱绕月球做 圆周运动，由万有引力等于向心力可得轨道舱绕月飞行的周期；
【详解】
解：(1)设月球表面上质量为
等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解，在万有引力这一块，设计的公式和物理
量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含
义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计
算
6．2019 年 4 月 20 日 22 时 41 分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成 功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为 r 的匀速圆周运动。卫星的 质量为 m，地球的半径为 R，地球表面的重力加速度大小为 g，不计地球自转的影响。 求：
联立③⑤⑥式解得 （3 分）
本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相 同，由万有引力提供向心力列式求解
4．从在某星球表面一倾角为 的山坡上以初速度 v0 平抛一物体，经时间 t 该物体落到山坡
上．已知该星球的半径为 R，一切阻力不计，引力常量为 G，求： （1）该星球表面的重力加速度的大小 g （2）该星球的质量 M．
【答案】（1）
m
'
m1
m23 m2
2
m23
m1 m2 2
v3T 2 G (3)有可能是黑洞
【解析】
试题分析：（1）设 A、B 圆轨道的半径分别为 r1、r2 ，由题意知，A、B 的角速度相等，为
0 ，
有： FA m102r1 ， FB m202r2 ，又 FA FB
设 A、B 之间的距离为 r，又 r r1 r2
【答案】
【解析】 设两颗恒星的质量分别为 m1、m2，做圆周运动的半径分别为 r1、r2，角速度分别为 w1,w2．根据题意有 w1=w2 ① （1 分） r1+r2=r ② （1 分） 根据万有引力定律和牛顿定律，有