参数估计一、 知识点1. 矩估计法；极大似然估计法2. 估计量的评判标准（会验证一个估计量的无偏性，比较两个无偏估计量的有效性）3. 区间估计的概念4. 会求一个正态总体期望μ和方差2σ的置信区间 二、习题解答1. 设总体X ～22()(),0p x a x x a a =-<<，求参数a 的矩估计。

解：22002()()()3a aa E X xp x dx ax x dx a ==-=⎰⎰令3aX =，⇒3a X =，由矩估计定义知a 的矩估计ˆ3aX =。

2. 设总体X ～()(1),01,ap x a x x =+<<求（1） 参数a 的矩估计，（2）参数a 的似然估计解：（1）112110001()()(1)(1)22a a x a E X xp x dx a x dx a a a +++==+=+=++⎰⎰ 令12a X a +=+，⇒211X aX -=-，由矩估计定义知a 的矩估计21ˆ1X a X-=-（2）似然函数()(;)(1)(1)()a n ai i i L a p x a a x a x ==+=+∏∏∏ln ()ln(1)ln i L a n a a x =++∑， 由ln ()ln 01i d L a nx da a =+=+∑⇒ 1ln i n a x =--∑，得a 的极大似然估计ˆ1ln ina x =--∑ 3. 总体X 服从区间[a,b]上的均匀分布，（1） 求参数a,b 的极大似然估（2） 设从总体取得样本1.4，2.5，1.6，1.8，2.2，1.8，2.0。

分别求a,b 的矩估计值和极大似然估值。

解：（1）总体X 的密度函数1,()0,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他似然函数1,1,2,,()()(;,)0i ni a x b i n b a L a b p x a b ⎧≤≤=⎪-==⎨⎪⎩∏ ，其他显然， b a -越小，似然函数就越大，但由于,1,2,,i a x b i n ≤≤= ，所以能套住所有的i x 的最短区间（ˆa，ˆb ）应为：{}1ˆmin i i na x ≤≤=，{}1ˆmax ii nbx ≤≤=（2）由课本例题知，a,b的矩估计为ˆˆa X b X ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，代入样本值得矩估计ˆa＝1.31，ˆb ＝2.49；极大似然估ˆa＝1.4，ˆb ＝2.5 5. 已知总体X 服从参数为θ的泊松分布, 其分布律为:0;,2,1,0,)(!1>===-θθθ k e k X P k k n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本. 求 θ的最大似然估计量;解.L (θ;x 1,x 2,...,x n ) ＝∏==ni i x XP 1)(= =θθ-=∏e x i x ni i1!1=θθn n i i x e x ni i-=∏∑=1!1lnL =∑∑==--n i ni iin x x 11!ln ln θθ,令θd L d ln =01=-∑=n xni iθ,θˆ=X X n n i i =∑=11为θ的最大似然估计量.6.设总体X 的均值为μ，试证2ˆσ＝211()n i i X n μ=-∑是总体方差2σ的无偏估计量。

证明：E(2ˆσ)＝E[211()n i i X n μ=-∑]=211()n i i E X n μ=-∑=211n i n σ=∑=2σ 7. .设对总体X ，有EX=μ，DX=2σ>0,且对样本均值X ，有EX μ=，试证22EX μ=不成立。

证明：因为DX=22()()E X EX -=222()0E X nσμ-=>, 即22EX μ=不成立。

8.一批零件的长度服从正态分布，从中任取16个测得如下数据2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11。

对α=0.05，求总体均值μ的置信区间。

（1）已知总体标准差σ＝0.01 （2）总体标准差未知解：（1）计算出X ＝2.125＝0.0049，μ的1－α置信区间为(2.120,2.130) (2) 总体标准差未知，查表得(15)t 的分位数为2.1315，由公式计算出μ的1－α置信区间为（2.116，2.134）二、例题与自测题1.总体)2,(~θθU X , 其中0>θ是未知参数, 又n X X X ,,,21 为取自该总体的样本, X 为样本均值.证明: 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计.证明: 因为23323232ˆθθ===EX X E E =θ, 故X 2ˆ=θ是参数θ的无偏估计.2．设321,,X X X 是取自总体x 的样本，试证下列统计量都是总体均值μ的无偏估计量，并指出哪一个最有效？(1)3211613121ˆX X X ++=μ(2)3212313131ˆX X X ++=μ(3)3211326161ˆX X X ++=μ4. 设总体),0(~θU X , 现从该总体中抽取容量为10的样本, 样本值为:0.5, 1.3, 0.6, 1.7, 2.2, 1.2, 0.8, 1.5,2.0, 1.6 试求参数θ的矩估计和似然估计. 解: 因为),0(~θU X , 所以EX =2θ, 2EX θ=故矩估计X2ˆ=θ=2×)6.10.25.18.02.12.27.16.03.15.0(101+++++++++=2.68 似然估计{}1ˆmax 2.2ii nx θ≤≤== 5. 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试, 得到如下数据(单位: 小时):1 050, 1 100, 1 130, 1 040, 1 250, 1 300, 1 200, 1 080试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差进行点估计. 解: 设这批元件的平均寿命为u , 寿命分布的标准差为σ,75.1431)08012001300125010401130110010501(81ˆ=+++++++==X u,*ˆ96.06S σ==== 6、从均值为μ, 方差为2σ的正态总体中分别抽取容量为1n 和2n 的两组独立样本, 21,分别为两组样本的样本均值. 试证: 对任何常数)1(,=+b a b a , 21X b X a Y +=都是μ的无偏估计, 并确定b a ,的值使21b a Y +=在此形式的估计量中最有效. 解：因为.)(21u EX EX b a bEX aEX X bE X aE EY==+=+=+=所以，对任何常数)1(,=+b a b a , 21X b X a Y +=都是μ的无偏估计.DX n b n a DX n b DX n a X D b X D a DY )(221222122212+=+=+=令 f (a ,b )=2212n b n a +, 求f (a ,b )在a +b =1下的条件极值,可知当a =211n n n +, b =212n n n +时, f (a ,b )最小, 从而Y 最有效.7. 总体),(~2σμN X 分布，n X X X ,,,21 为取自该总体的简单随机样本,试建立总体期望μ的1α-置信区间，假设（1）方差2σ＝20σ已知；（2）方差2σ未知 8（思考题）设从总体),(~211σμN X 和总体),(~222σμN Y 中分别抽取容量为21,n n 的独立样本X 1,X 2,……,X n1 与Y 1,Y 2,……,Y n2，试建立总体期望12μμ-的1α-置信区间，假设（1）两总体的方差21σ，22σ已知； （2）两总体的方差21σ＝22σ＝2σ但2σ未知 答案（1）：1212{())x x u x x u αα---+（2）：11222{()(x x t n n S x x t n n S αα--+--++-其中*2*22112212(1)(1)2Wn S n S S n n -+-=+-为两总体的合样本方差 9．（思考题）设从总体),(~211σμN X 和总体),(~222σμN Y 中分别抽取容量为21,n n 的独立样本X 1,X 2,……,X n1 与Y 1,Y 2,……,Y n2，试建立总体方差比2122σσ的1α-置信区间10．总体),(~2σμN X 分布，方差2σ＝20σ已知，n X X X ,,,21 为取自该总体的简单随机样本。

总体期望μ的置信区间的长度L ，随着置信度1α-的增加(1) 长度不变 (2) 长度增大 (3) 长度减小 (4) 增减不定11. 已知某种材料的抗压强度),(~2σμN X , 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482,493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1) 求平均抗压强度μ的矩估计值;(2) 求2σ的矩估计值;(3) 求平均抗压强度μ的95%的置信区间;(4) 求2σ的95%的置信区间;(5) 若已知σ=30, 求平均抗压强度μ的95%的置信区间;12.总体),(~2σμN X , 2σ已知,问样本容量n 取多大时才能保证μ的95%的置信区间的长度不大于k .解：由于2σ已知时，μ的95%的置信区间为：{X X +它的长度为：L=，令L ≤k，则n ≥22222419.615.37k k σσ=, 故n 至少要取1]37.15[22+k σ. 13．若两总体的方差21σ＝22σ＝2σ未知时，记*2*22112212(1)(1)2Wn S n S S n n -+-=+-，称其为两总体的合样本方差，证明其为总体方差的无偏估计。

14. 设θ是总体X 中的参数,称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间,即(答案:(A)). A. ),(θθ以概率a -1包含θ B. θ 以概率a -1落入),(θθC.θ以概率a 落在),(θθ之外D. 以),(θθ估计θ的范围,不正确的概率是a -115.设X 1,X 2,……,X n 是来自总体N （2,σμ）的S.R.S,X是样本均值，记S 12=21)(11∑=--n i i X X nS 22=21)(1∑=-n i i X X n S 32=21)(11∑=--n i i X n μ S 42=21)(1∑=-n i i X n μ S 12、S 22、S 32、、S 42作为总体方差2σ的四个估计量，其中无偏估计量有 。

16.在总体μ的所有线性无偏估计中，以 最为有效。

17.从去年出生的新生儿随机抽取10名，测得体重值（单位：千克），已计算出X =3.6，∑=-ni iX X12)(=1.6。