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概率论与数理统计试题及答案

考试时间 120 分钟
班级 姓名 学号
一. 填空题(每题3分,共24分)
1.设 A 、B 为随机事件,P (A)=0.5,P(B)=0.6,
P(B A)=0.8.则P(B )A U
.
2. 三人独立的破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3,此密码能被译出的概率是= .
3. 设随机变量2
(,)X μσN :,X
Y e =,则Y 的分布密度函数为 .
4. 设随机变量2(,)X μσN :,且二次方程2
40y y X ++=无实根的概率等于, 则μ= . 5.
设()16,()25D X D Y ==,
0.3
X Y ρ=,则
()D X Y += .
6. 掷硬币n 次,正面出现次数的数学期望为 .
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量,其期望是1两,标准差是两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过斤的概率近似为 (答案用标准正态分布函数表示).
8. 设125,,X X X L 是来自总体(0,1)X N :的简单随机样本,统计量
12()/~()C X X t n +,则常数C = ,自由度n = . 二 计算题
1.(10分)设袋中有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽),从袋中任取一只硬币,将它投掷r
次,已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少?
2.(10分)设顾客在某银行窗口等待服务的时间(以分计)X 服从指数分布,其概率密度函数为
/5
(1/5)0
()0
x e x f x -⎧>=⎨
⎩其它
某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y 的分布律,并求{1}P Y ≥.
3.(10分)设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布,该正方形的对角线为坐标轴,求:
(1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度; (2) 求条件概率密度|(|)X Y f
x y .
. 4.(10分)某型号电子管寿命(以小时计)近似地服从
2(160,20)N 分布,随机的选取四只,求其中没有一只寿
命小于180小时的概率(答案用标准正态分布函数表示).
5.(10分)某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望.
三. (10分)设12,,n X X X L 是取自双参数指数分布总体的一组样本,密度函数为
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它
其中,0μθ>是未知参数,12,,,n x x x L 是一组样本值,求: (1),μθ的矩法估计; (2),μθ的极大似然估计.
四. (8分)假设ˆθ
是θ的无偏估计,且有ˆ()0D θ>试证2ˆθ2ˆ()θ=不是2θ
的无偏估计.
五. (8分)设112,,,n X X X L 是来自总体2
11~(,)X N μσ的一组样本,212,,,n Y Y Y L 是来自总体2
22~(,)Y N μσ的
一组样本,两组样本独立.其样本方差分别为2212,S S ,且设22
1212,,,μμσσ均
为未知. 欲检验假设22012:H σσ=,22
112:H σσ<,显着性水平α事先给
定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域(临界点由分位点给出).
评分标准
一:填空题:(每小题3分)
1. 0.7;
2. ;
3. 22
).exp{).[ln ]}
0y y y μ->; 4.
4; 5. 53; 6. n/2; 7. (2)Φ 二:计算题
1. 解:记 A:取得正品硬币; B :投掷r 次,每次都得到国徽; 取{,}A A 作为样本空间的划分.
(|)(|)()/[(|)()(|)()P A B P B A P A P B A P A P B A P A =+
1
.212.2r
r
r m m m n m n m n m n m n
+==++
++ 2. 解:某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为P ,
(/5)210(1/5)x P e dx e +∞
--==⎰
注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验,每次试
验得不到服务的概率为2
e -. 所以2
~(5,)Y B e -,即
2255{}()(1)0,1,,5k k k
P Y k C e e k ---==-=L
25{1}1{0}1(1)P Y P y e -≥=-==--
3. 解:
(1)
||2
2
||21/(/||)||()(,)0
a x a x X a dy a x x a f x f x y dy a
+∞
--∞
⎧=≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰
其它
由对称性
||2
2
||21/(/||)||/()(,)0
a y a y Y a dx a y y a f y f x y dx a
+∞
--∞
⎧=≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰
其它
(2)
当||y a
<
|
||/
(,)
(|)
()
X Y
Y
x a y
f x y
f x y
f y

==
⎩其它
4.解:记取出的四只电子管寿命分别为
1234
,,,
X X X X,所求概率为P,则
1234
{min(,,,)180}
P P X X X X
=≥
44
{180}[1{180}]1,2,3,4
i i
P X P X i
=≥=-≤=
4
[1(1)]0.00063
=-Φ=
5.解:记圆盘面积为S,圆盘直径为R,则2
(1/4)
S R
π
=,
由随机变量函数的数学期望的计算方法有
2
()(1/4)(1/)
b
a
E S r b a dr
π
=-

22
(/12)()
b ab a
π
=++
三:解:
(1)矩法估计量
()()|
|
x x x
x
x
E X xf x dx e dx xe e dx
e
μμμ
θθθ
μ
μμ
μ
θ
μ
θ
μθμθ
---
---
+∞+∞+∞

-∞
-
-
+∞
===-+
=-=+
⎰⎰⎰
2
222
222
()()|2
2()()
x x x
x
E X x f x dx e dx x e xe dx
μμμ
θθθ
μ
μμ
θ
μθμθμθθ
---
---
+∞+∞+∞

-∞
===-+
=++=++
⎰⎰⎰

222
2
()()
()()
E X X
E X A
μθ
μθθ
⎧=+=

=++=

解之得,μθ的矩法估计量:
ˆX μ=
ˆθ= (2) 极大似然估计
11
1
1
(,)exp{()}min{,,}n
i n n
i L x n x x μθμμθθ
==
--<∑L
11
1
ln ln ()min{,,}n
i n i L n x n x x θμμθ
==--
-<∑L
ln L n
μθ
∂=∂>0, 故ln L 是μ的递增函数,故1ˆmin{,}n x x μ
=L 由
ln 0L θ
∂=∂得 1ˆmin{,,}n x x x θ=-L , 所以极大似然估计量为1ˆmin{,}n X X μ=L ,1ˆmin{,,}n
X X X θ=-L 四:证明:
由方差的计算公式有:2ˆ()E θ
2ˆ[()]E θ==ˆ()D θ+2ˆ[()]E θ, 再由ˆθ
是θ的无偏估计可得: 2ˆ()E θ
=2ˆ()D θθ+ 易见当ˆ()0D θ
>时,2ˆθ2ˆ()θ=不是2θ的无偏估计. 五:构造检验统计量2
122S F S =,
当0H 为真时,2
11222~(1,1)S F F n n S =--,
当0H 不真而1H 为真时,由2222
1111222
22222
/./S S F S S σσσσ==,即一个12(1,1)F n n --的统计量乘以一个小于1的数,2122S F S =有偏小的趋势. 所以当2
122
S F S =偏
小时我们拒绝0H 而接受1H ,拒绝域的形式是:2
122S F K S =<.
由0H 为真时2
11222
~(1,1)S F F n n S =--确定常数K ,得拒绝域为:
2
111222
(1,1)S F F n n S α-=<--.。

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