合情推理1：与代数式有关的推理问题例1、观察()()()()()()223322443223,a b a b a b a b a b a ab ba b a b aa b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想nn ab -=练习:观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．．等式．．为 。

解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．．等．式．为333333212345621+++++=。

2：与三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。

2020202020202020202020203sin 30sin 90sin 150,23sin 60sin 120sin 18023sin 45sin 105sin 165,23sin 15sin 75sin 1352++=++=++=++=练习：观察下列等式：① cos2α=2 cos 2α－1；② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2α+1；③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2α－1；④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2α＋1；⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2α－1； 可以推测，m －n+p= . 答案：9623：与不等式有关的推理例1、观察下列式子：213122+<，221151,233++<22211171,2344.............+++< 由上可得出一般的结论为： 。

答案：222111211......,23(1)1n n n ++++<++练习、由331441551,,221331441+++>>>+++。

可猜想到一个一般性的结论是： 。

4：与数列有关的推理例1、已知数列}{n a 中，1a =1，当n ≥2时，121n n a a -=+，依次计算数列的后几项，猜想数列的一个通项表达式为： 。

例2、（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为例3、（2010深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= .例4、等差数列}{n a 中，若10a = 0则等式121219......................(19,)n n a a a a a a n n N *-+++=+++<∈成立，类比上述性质，相应的，在等比数列中，若101b =，则有等式 。

练习：设等差数列{}n a 前n 项和为n s ，则36396129,,,s s s s s s s ---成等差数列。

类比以上结论：设等比数列{}n b 前n 项积为n T ，则3,T , ，129,T T 成等比数列。

6：与立体几何有关的推理例 1、在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么？12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15………………合情推理练习题一、选择题1．下列表述正确的是 ( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤ 2．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．27 3．下面使用类比推理恰当的是 ( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a ＋b)c ＝ac ＋bc”类推出“a ＋b c ＝a c ＋bc ”C ．“(a ＋b)c ＝ac ＋bc”类推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“()nn n ab a b =”类推出“()nn n a b a b +=+”4．由710＞58，911＞810，1325＞921，…若a ＞b ＞0且m ＞0，则b ＋m a ＋m 与b a之间大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定 5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893 6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为（ ）A 、12+n n B 、112+-n n C 、112++n n D 、22+n n二、填空题1．已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ，23125sin 65sin 5sin 222=++ ，2223sin 18sin 78sin 1382++=，通过观察上述等式的规律，写出一般性的命题：_______________________2．(2012·陕西高考)观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74……照此规律，第五个不等式为____________________________________．3．(2011·陕西高考)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为____________________．4.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：1．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式．2．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1＝2，公和为5.(1)求a18的值；(2)求该数列的前n项和S n.演绎推理1．定义根据一般性的真命题或逻辑规则，导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理．即从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理形式．它的特征是：当前提为真时，结论必然为真．2．三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式(1)三段论的结构：①大前提—已知的一般原理；②小前提—所研究的特殊情况；③结论—根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)“三段论”的表示：①大前提—M是P；②小前提—S是M；③结论—S是P．(3)三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元素都具有性质P，②S是M的一个子集；③那么S中所有元素也都具有性质P.想一想：(1)“三段论”就是演绎推理吗？(2)在演绎推理中，如果大前提正确，那么结论一定正确吗？为什么？(3)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理中，“三段论”中的________是错误的．(1)解析：不是．三段论是演绎推理的一般模式．(2)解析：不一定正确．只有大前提和小前提及推理形式都正确，其结论才是正确的．(3)解析：小前提错误，因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．1.有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0，因为a∈R，所以a2>0”，结论显然是错误的，是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误大前提：任何实数的平方大于0是不正确的.2.在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是( )A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边长的一半C.E，F为AB，AC的中点D.EF∥BC【解析】选A.本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理.3.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立.因为f(x)=x3在(-1，1)内可导且单调递增，所以在(-1，1)内，f′(x)=3x2>0恒成立.以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误【解析】选A.因为对于可导函数f(x)，f(x)在区间(a，b)上是增函数，f′(x)>0对x∈(a，b)恒成立，应该是f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立，所以大前提错误.4.以下推理过程省略的大前提为：.因为a2+b2≥2ab，所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.【解析】由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2+b2，故大前提为：若a≥b，则a+c≥b+c.答案：若a≥b，则a+c≥b+c5.“π是无限不循环小数，所以π是无理数”以上推理的大前提是( )A.实数分为有理数和无理数B.π不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D.有理数都是有限循环小数【解析】选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是无限不循环小数，π是无限不循环小数，所以π是无理数，故大前提是无理数都是无限不循环小数.6.因为中国的大学分布在全国各地，…大前提北京大学是中国的大学…小前提所以北京大学分布在全国各地.…结论(1)上面的推理形式正确吗？为什么？(2)推理的结论正确吗？为什么？【解析】(1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误.(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误.7.设数列{an }的前n项和为Sn，且满足an=3-2Sn(n∈N*).(1)求a1，a2，a3，a4的值并猜想an的表达式.(2)若猜想的结论正确，用三段论证明数列{an}是等比数列.【解析】(1)因为a n=3-2S n，所以a1=3-2S1=3-2a1，解得a1=1，同理a2=，a3=，a4=，…猜想a n=.(2)大前提：数列{a n}，若=q，q是非零常数，则数列{a n}是等比数列. 小前提：由a n=，又=，结论：数列{a n}是等比数列.合情推理 随堂练习答案 选择题1—5：DBCBA 6： A 一、 填空题1. 2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=. 2. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋ ()212111n n n ++<++(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 3. n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ； 每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 4.259三、解答题1. 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.2.解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5， 易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝52n ； 当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.。