题型一 用归纳推理发现规律例1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

23135sin 75sin 15sin 020202=++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++.解析：猜想：23)60(sin sin )60(sin 02202=+++-ααα证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++-=23)cos (sin 2322=+αα=右边 注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）题型二 用类比推理猜想新的命题例2：已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.解析：原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=⇒⨯==，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==即正四面体的内切球的半径是高41注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。

（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 题型三 利用“三段论”进行推理例3 某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）解析：因e d c b a ,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S 的值增长越多，a b e d c <<<<<0 ，所以c 增大1个单位会使得S 的值增加最多注：从分式的性质中寻找S 值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到1.下列说法正确的是 （ ）A.类比推理是由特殊到一般的推理B.演绎推理是特殊到一般的推理C.归纳推理是个别到一般的推理D.合情推理可以作为证明的步骤 答案： C3.已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为答案：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥ 4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ． [解析]解法的类比（特殊化）易得两个正方体重叠部分的体积为83a5.已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V[解析] )1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.答案；0Ax By Cz D +++=；2222000()()()x x y y z z r -+-+-=7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；（2） 已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________． 答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；（2）318=a ；8. 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：2213=+ 23135=++ 241357=+++ 3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为 答案：9=m(2014全国I 卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。

小王说：“我肯定考上重点大学。

” 小刘说：“重点大学我是考不上了。

”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。

”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。

可见：（ ）（A ）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学 （B ）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学 （C ）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学 （D ）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上 3、给出下列三个命题：①若bba ab a +≥+-≥≥11,1则；②若正整数n m 和满足n m ≤，则2)(n m n m ≤-；③设9:),(22111=+y x O y x P 为圆上任意一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1。

当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆21O O 与圆相切。

其中假命题．．．的个数是（ ） （A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ）3 二、填空题 4、设函数221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得(5)(0)(5)(6)f f f f -+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为 .一、选择题（1）由推理知识，可知应选（C ）（3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B ） 二、填空题（4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前n 项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算)1()(x f x f -+： 221)(+=xx f ，x xxxx x f 222212222221)1(1+⋅=⋅+=+=--，22222211)1()(=+⋅+=-+∴xxx f x f ， 发现)1()(x f x f -+正好是一个定值， 12222⨯=∴S ，23=∴S .【典型例题】 例1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

小王 发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。

小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。

他写出不是质数的一个数是 （ ） A ．1643 B ．1679 C ．1681 D ．1697 答案：C 。

解析：观察可知：),1(2,,6,4,21342312-=-=-=-=--n a a a a a a a a n n累加可得： 2)1(2)222)(1()1(2421n n n n n a a n -=-+-=-+++=- ，∴,41222+-=nn a n 验证可知1681符合此式，且41×41=1681。

（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2=a 2类比得到复数z 的性质|z |2=z 2；③方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是042>-ac b 可以类比得到：方程),,(02C c b a c bz az ∈=++有两个不同复数根的条件是042>-ac b ；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是 ( ) A .①③ B . ②④ C . ①④ D . ②③ 答案：D 。

解析：由复数的性质可知。

（3）定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B ）所对应的运算结果可能是 ( )（1） （2） （3） （4） （A ） （B ） A .D A D B **, B .C A D B **, C .D A C B **, D .D A D C **, 答案：B 。

例3：在△ABC 中，若∠C=90°，AC=b,BC=a ，则△ABC 的外接圆的半径222b a r +=，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

答案：本题是“由平面向空间类比”。

考虑到平面中的图形是一个直角三角形， 所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。

取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A —BCD ，且AB=a ，AC=b ，AD=c ， 则此三棱锥的外接球的半径是2222c b a r ++=。

例4： 请你把不等式“若21,a a 是正实数，则有21122221a a a a a a +≥+”推广到一般情形，并证明你的结论。

答案： 推广的结论：若 n a a a ,,,21 都是正数，n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211212322221 证明： ∵n a a a ,,,21 都是正数 ∴ 122212a a a a ≥+，211222a a a a ≥+………，1212--≥+n n n n a a a a ，n n a a a a 2112≥+n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211212322221【课内练习】1．给定集合A 、B ，定义},,|{B n A m n m x x B A ∈∈-==*，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合B A *中的所有元素之和为 （ ） A.15 B.14 C.27 D.-14答案：A 。