三、计算题（四小题，共 55 分）
1、稳定温度场中的温度场函数 T(x，y)应满足 2T


2T x2



2T y 2


0 ，设图中的矩形域为
6m×4m
，取网格间距为 h=2m，布置网格
如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求温度稳定情况下内结点 a、b 的稳定温度值。（8 分）
1
xy


2 xy


6qx h3

h2 4

y2

考察边界条件：在主要边界 y＝±h/2 上，应精确满足应力边界条件
y
yh 2

q 2

4y3 h3

3y h
1
yh2
q
y
yh 2

q 2

4y3 h3

k II mm

k
III ii
k IV jj

0.75 0.25
0.25 0.75

0.5 0
0 0.25

0.25 0
0 0.5

1.5 0.25
0.25 1.5
K15 k I ij k II ji

0 .25
0 0

0 0
3、试述弹性力学研究方法的特点，并比较材料力学、结构力学与弹性力学在研究内容、方法等方面的异同。（12 分）
答： 弹力研究方法：在区域 V 内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界 s 上考虑受 力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。 在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在材料力学基础上研究
响可以不计。
A．几何上等效
B．静力上等效
C．平衡 D．任意
3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同
B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同
C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同
D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同
将(c)代入，可得 B 0， A g l E
反代回(c)，可求得位移：
v g (2ly y2 ) 2E
σ y g(l y)
3、某结构的有限元计算网格如题八图（a）所示。每个单元的直角边长均为 l，单位厚度。网格中两种类型单元按如题八图（b）所示的局部编 号，它们单元劲度矩阵均为
1 2 ( y2
2
x2
2
) xy
fy

0.
(b)
将相关量代入式(a)、(b)，可见(a)
式（第一式）自然满足，而(b)
式第二式成为 2v y 2
g E
可由此解出
v g y2 Ay B.
(c)
2E
本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且 (v) y0 0, ( y ) yl 0

fx
0 ， σ y y

xy x

fy
0 ；用位移分量表示的
ox
应力分量表达式： σ x

E 1 μ2
( u x

μ
v ) y
，σy

E 1 μ2
( v y

μ
u ) ， x
τ xy

E 2(1
μ)
( v x

u ) ） y
l
ρg
解：据题意，设位移 u=0，v=v(y)，按位移进行求解。
y
根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方题程七图如下：
E 2u 1 2u 1 2v
1 2 ( x2
2
y2
2
) xy
fx

0,
(a)
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E 2v 1 2v 1 2u
ab
22
22 20 17
题六图
(
2 y
f
2
)0

1 h2
( f2

f4
2
f0 )
结合本题中条件和差分法原理，将温度函数 T 代之于公式中的 f，并根据二阶差分公式可对 a、b 处的温度列出方程如下：
4Ta (32 35 22 Tb) 0, 4Tb (Ta 30 20 22) 0。


ql 2
h/2
h / 2 xy
dy
xl
h/2 h / 2
6ql h3

h2 4
y2 ql
对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左
边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。
FL2

FL 2 x

FL
2
y
或
FL 2 x
FL2y T 0ql或 ql
0
按图中单元划分，结点标号的局部编码 i，j，m 与整体编码的对应见下表：
单元号
I
局部编码
i
1
j
5
m
2
II
III
IV
整体编码
5
4
8
1
8
4
4
5
7
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K 44
（在各个方向上相同）。
2、位移法求解的条件是什么？怎样判断一组位移分量是否为某一问题的真实位移？（5 分）
答： 按位移法求解时，u，v 必须满足求解域内的平衡微分方程，位移边界条件和应力边界条件。 平衡微分方程、位移边界条件和（用位移表示的）应力边界条件既是求解的条件，也是校核 u，v 是否正确的条件。
h/2
h / 2 x
dy
xl
h/2 h/ 2
6ql2 y h3

4qy3 h3

3qy 3h
dy

0
(奇函数)
h/2
h / 2 x
ydy
xl
h/2
h
/
2


6ql2 y h3

4qy3 h3

3qy 3h
ydy
解该方程组可得：
Ta 28.53,Tb 25.13
2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用， f x 0, f y g （ρ 为杆件密度，g 为重力加速度），并设 μ=0。
试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14 分）
（平面问题的平衡微分方程： σx x

yx y
4、不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（ A ）
①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；
④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A. ①②④ B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④
5、如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码 ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。

0.25
0.75
试求：（1）结点 2 的等效荷载列阵FL2。（5 分）
（2）整体劲度矩阵中的子矩阵 K 44 和 K15。（10 分）
1
3i
m
2
j
45
6
7
89
j
m
i
（a）
（b）
题八图
解：
因结构关于沿编码 2、5、8 的轴线对称，故可取左半部分进行分析，见下图所示。
根据静力等效，结构在结点 2 处受向下的集中荷载 F2＝－ql/2×2＝－ql，水平方向无荷载作用，因此，结点 2 处的等效荷载列阵可表示为：
（1）将φ
代入相容方程
4Φ x 4

2
4Φ x 2 y
2

4Φ y 4

0 ，显然满足。因此，该函数可以作为应力函数。
O
（2）应力分量的表达式：

x

2 y 2

6qx2 y h3

4qy3 h3

3qy 3h
,
y

y

2 x 2

q 2

4y3 h3

3y h
一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题 2 分，共 10 分）
1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．相容方程
B．近似方法
C．边界条件 D．附加假定
2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影
4Φ x 4

2
4Φ x2y 2

4Φ y 4

0 ，请问：相容方程的作用是什么？两种解法中，哪一种解法不
需要将相容方程作为基本方程？为什么？（13 分）
答： （1）连续体的形变分量（和应力分量）不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量存在，相容方程也因此成为 判断弹性力学问题解答正确与否的依据之一。 （2）对于按位移求解（位移法）和按应力求解（应力法）两种方法，对弹性力学问题进行求解时位移法求解不需要将相容方程作为基本方程。 （3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程 和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进而再求出形变分量和应力分量。