1 p2
还可用导数公式 ( x n )' nx n1，推导如下：
1 2x 3x2 kx k1 x'(x2 )'(x3 )'(x k )' (x x2 x3 x k )'
(x 1
)' x
(1 x) (x) (1 x)2
1 (1 x)2
上式中令 x q ，则得
1 2q 3q 2 kq k1
2 p p2
( 1)2 p
1 p p2
利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。 例 1. 一个口袋内装有 5 个白球和 2 个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取
出白球则停止摸球。求取球次数 的数学期望 E 与方差 D 。
解：每次从袋内取出白球的概率 p 5 ，取出黑球的概率 q 2 。 的取值为 1，2，
,
;
,
。 概率为 p 的事件 A，以 X 记 A 首次发生所进行的试验次数，则 X 的分布列：
，
具有这种分布列的随机变量 X，称为服从参数 p 的几何分布，记为 X~Geo(p)。 几何分布的期望
，方差
。
高中数学教科书新版第三册（选修 II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中
只给出了结论：（1） E
1 (1 p2
p) 9
9(1 p)9 p
所以 E [1 (1 p)9 9(1 p)9 ]p 10(1 p)9 1 (1 p)10
p2
p
p
说明：本例的试验是有限次的，并且 P( 10) (1 p)9 ，不符合几何分布的概率特征， 因而随机变量 不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公
1 22 q 32 q 2 k 2q k 1
(q 2q 2 3q 3 kq k )'
[
(1
q q
)
2
]'
(1
q)2 2(1 (1 q)4
q)q
1 q2 1 q 2 p (1 q)4 (1 q)3 p3
则 E 2
2 p p( p3 )
2 p p2
，因此 D
E 2
(E)D E 2 (E)2 来推导（该性质的证明，可见本刊 6 页）。可见关键是求 E 2 。
E 2 p 22 qp 32 q 2 pk 2q k1 p
p(1 22 q 32 q 2 k 2q k 1 )
对于上式括号中的式子，利用导数，关于 q 求导： k 2q k 1 (kq k )' ，并用倍差法求和，有
1 p2
从而 E 1 p
也可用无穷等比数列各项和公式 S a1 (|q| 1) （见教科书 91 页阅读材料），推导如 1 q
下：
记 S 1 2q 3q 2 kq k1
qS q 2q 2 (k 1)q k1
相减，
(1 q)S 1 q q 2 q k1 1 1 q
则S
1 (1 q)2
解：射手射击次数的可能取值为 1，2，…，9，10。
若 k(k 1,2,,9) ，则表明他前 k 1次均没击中目标，而第 k 次击中目标；若 k＝
10，则表明他前 9 次都没击中目标，而第 10 次可能击中也可能没击中目标。因此 的分布列为
P(
k)
(1 (1
p) k1 p(k 1,2,,9) p)9 (k 10)
1 p
，（2） D
1 p p2
，而未加以证明。本文给出证明，并用于解
题。
（1）由 P( k ) q k1 p ，知
E p 2 pq 3q 2 pkq k1 p (1 2q 3q 2 kq k1 ) p
下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记
Sk 1 2q 3q 2 kq k1
qSk q 2q 2 (k 1)q k1 kq k
两式相减，得
(1 q)Sk 1 q q 2 q k1 kq k
Sk
1 qk (1 q)2
kq k 1 q
由 0 p 1，知 0 q 1，则 lim q k 0 ，故 k
1
2
p
3q
2
kq
k 1
lim
k
Sk
1 (1 q)2
式的推导方法。
几何分布的定义以及期望与方差
几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在 n 次伯努利试验 中，试验 k 次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前 k-1 次皆失败，第 k 次成功的概率。 公式： 它分两种情况： 1. 得到 1 次成功而进行，n 次伯努利实验，n 的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』; 2. m = n-1 次失败，第 n 次成功，m 的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』. 由两种不同情况而得出的期望和方差如下：
7
7
3，……，有无穷多个。我们用 k 表示前 k－1 次均取到黑球，而第 k 次取到白球，因此
P( k) q k1 p ( 2) k1( 5)(k 1,2,3,) 。可见 服从几何分布。所以 77
E 1 7 p5
D
1 p p2
1 5 7
(5)2
14 25
7
例 2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为 p（0<p<1）。他有 10 发子弹，现对某一目 标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。
E 1 (1 p)0 p 2 (1 p) p9 (1 p)8 p 10 (1 p)9
[1 2(1 p)9(1 p)8 ]p 10 (1 p)9
用倍差法，可求得
1 2(1 p)9(1 p)8
1 (1 p)9 9(1 p)9 [1 (1 p)]2 1 (1 p)
