3
4
(b a)2
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为θ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1θe源自x θ0x0 x0
E( X )
xf ( x)dx
x
1
e
x
θ
dx
（
x
x）de θ
0
θ
0
（
x）e
三.泊松分布
随机变量 X ~ ，(其) 分布律为：
P{ X
k}
λk e λ ,
k!
k 0,1,2, ,
E( X )
k e
k
e
k 1
k0 k!
k1 (k 1)!
e e
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ] E[X ( X 1)] E( X )
k(k 1) k e
若随机变量X~N（μ,σ2 ）, 则
E( X ) μ , D( X ) σ 2
例1.已知 X ~ (3) , Y 求2X 1 , E(Y ) , D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , E(X ) 3 , D( X ) 3 则
E(Y ) E(2X 1) 2E( X ) 1 5
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1
t2
( t )e 2 d t
t2
e 2 dt
2
2
D( X ) E{[ X E( X )]2 }
(x
)2
1
( x )2
e 2 2 dx
2
（令 t x ）
2
t2
t
2
e
2
dt
2
2
2
t2
( t )de
2
2
t2
te 2
2
t 2
e 2 dt
2
2
即
2 2
0
θ2
即 若随机变量X服从参数为θ的指数分布，则
E( X ) θ，D( X ) θ 2
六.正态分布
随机变量 X ~ N ( ，,其2概) 率密度为：
f (x)
1
( x )2
e 2 2 ,
2
x
E( X )
xf ( x)dx
x
1
2
( x )2
e 2 2 dx （令
t
x ）
01 1-p p
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p) 即：
若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
b
E( X ) xf ( x)dx x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
a 2 ab b2 a 2 2ab b2
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk ,
k 1,2, , n
由二项分布定义可知，X是n重贝努利试验中事件A发
生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p，设
1 X k 0
A在 第k次 发 生 , k 1,2, , n
A在 第k次 不 发 生
则Xk服从二点分布，其分布律为： X
E( X k ) p , D( X k ) p(1 p) pk
D(Y ) D(2X 1) 4D( X ) 12
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
2e
k2
k0
k!
k2 (k 2)!
2ee 2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
即： 若随机变量X~π(λ),则 E( X ) λ , D( X ) λ
四.均匀分布
设随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，其概率
密度为
1
f
(x)
b
a
a xb ,
0 其它
几种重要随机变量的数学期望和方差
一.二点分布 二.二项分布 三.泊松分布
四.均匀分布 五.正态分布 六.指数分布
一.二点分布
若随机变量X服从二点分布，其分布律为：
X
0
1
Pk
1-p
p
E( X ) p D( X ) p(1 p) E(X 2) p
二.二项分布
随机变量X~B(n,p),其分布律为：
(2) X ~ U(1,5) ,
E(X) 1 5 3
2
D( X ) (5 1)2
12
4 3
Y ~ N(1,9) , E(Y ) 1 , D(Y ) 9
E(3X 4Y 2) 3E( X ) 4E(Y ) 2 3
D(3X 4Y 2) 9D( X ) (4)2 D(Y ) 156
x
x
e dx
0
0
x
e
θ
0
E( X 2 )
x
2
f
(
x)dx
x2
1
x
eθ
dx
0
θ
（
x
2）de
x θ
0
（
x
2）e
x
x
2xe dx
0
0
（
2θx）de
x θ
0
（
2x）e
x
2
x
e dx
0
0
2
2
e
x
2θ 2 ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
解： （1）X在区间(1，5)上服从均匀分布, Y ~ N(1,9) ,
1
f
X
(
x)
4
0
1 x5 ,
其它
fY ( y)
3
1
2
( y1)2
e 18
,
y ,
由X和Y相互独立得：
f (x, y) f X (x) fY ( y)
12
1
2
( y1)2
e 18
,
0
1 x 5 , y 其它