开 域 :不 包 括 边 界 在 内 的 区 域 称 为 开 域 .
无 界 区 域 有 界 区 域 :如 果 区 域 延 伸 到 无 穷 远 处 ， 则称为无界区域，否则称为有界区域.
邻 域 :把 满 足 不 等 式 (x x0)2 ( y y0)2 ( 0) 的 点 P (x, y ) 的 全 体 称 为 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 邻 域 . 它 是 以 点 P0 为 中 心 ， 为 半 径 的 圆 形 开 区 域 ， 称 不 包 含 点 P0 的 邻 域 为 无 心 邻 域 .
数的极限 lim f (x, y) A存在．反过来,如果当 P(x, y) 沿 xx0
y y 0
两条不同路径趋近于点 P0 (x0, y0 )时,函数 f (x, y) 趋近于不 同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在．
y
Байду номын сангаас
P0
p o
x
2 . 多元函数的连续性
定义 设二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )的某个 邻域内有定义，若
点M (x, y,z)．所有这样确定的点的集 x
合就是二元函数 z f (x, y)的图形，由 上一章知，通常是一张空间曲面（如 图 11.1-3 所示）．
z zf(x,y) M(x,y,z)
o y
P(x,y) 图11.1-3
11.1.2 二元函数的极限与连续
1. 二 元 函 数 的 极 限
定 义 设 二 元 函 数 z f (x, y) ， 如 果 当 点(x, y) 以 任 何
lim f (x, y) f (x0 , y0 )
(1)
xx0
y y0
则称二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )处连续．若函数
z f (x, y)在区域 D上每一点都连续，则称函数 f (x, y) 在
区域 D上连续.
若 令 x x0 x ， y y0 y ， 则 上 述 定 义 中 的 （ 1） 式
• 本讲重点：（1）二元函数的偏导数和全微 分。（2）二元函数的有关极值问题及应用。
• 本讲难点：二元函数极值的实际应用题， 符号函数的复合函数求偏导数或全微分。
2011年
2010年
25．设函数 z x ln( x y) ，则 z
y
y
A． x y(x y)
B．
xln(x y2
y)
C． ln(x y) x
常 见 的 区 域 还 有 矩 形 域 ： a x b,c y d .
例 求 二 元 函 数 z x y 的 定 义 域 .
解 由根式函数的要求容易知
y
道 ， 自 变 量 x,y 所 取 的 值 必 须 满 足 不 等
式
x y0, 即函数的定义域为
D { (x, y)|x y 0} .
2y x
1且
x
0} .
其几何图形为平面上位于直线
y
1 2
x
(x 0) 之 间 的 阴 影 部 分（ 如 图
1 1 .1 -2 所 示 ） .
y x
图11.1-2
2．二元函数的几何意义 一元函数 y f (x)通常表示平面
上的一条曲线．二元函数 z f (x, y) ,(x, y)D， 其定义域 D是平面上的一个区域，对 于任取点 P(x, y)D，其对应的函数值 为 z f (x, y)，于是得到了空间内的一
z P(x, y)D，变量 按照一定法则总有唯一确定的值与之对 z 应，则称 是变量 x,y的二元函数（或点P的函数），并记
为 z f (x, y)或 z f (P).
z 点集 D称为该函数的定义域， x,y称为自变量， 称
为因变量，而数集
{z|z f (x, y),(x, y)D}
称为该函数的值域．
o
x
其 几 何 图 形 为 平 面 上 位 于 直 线 yx
右 方 的 半 平 面 （ 如 图 11.1-1 所 示 ） .
图11.1-1
例
求
二
元
函
数
z
a
r
c
c
o
s
2y x
的
定
义域.
解 自 变 量 x,y 所 取 的 值 必 须 满
足不等式
2y x
1且
x0
,
即函数的定义域为
D
{ (x, y )|
y y0
（ (x, y) (x0, y0)）．
必须注意，定义中的当点(x,y) 以任何方式趋近于点
(x0, y0)是指点(x,y)趋近于点(x0, y0)是沿“四面八方”的各 种各样路径来逼近的（如图11.1-4 所示），
当 P(x, y) 以某几条特殊路径趋近于 P0 (x0, y0 )时，即使 函数 f (x, y)无限地趋近于某一确定常数 A，并不能断定函
方 式 趋 近 于 点 (x0 , y0 ) 时 ， f (x, y) 总 是 无 限 地 趋 近 于 一 个
确 定 的 常 数 A ， 则 称 常 数 A 为 函 数 z f (x, y) 在x x0 ，
y y0时 的 极 限 ， 记 作
lim f ( x, y) A ， 或 f (x, y) A x x0
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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第 9 讲 多元函数微分法及应用
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，很多知识看似 复杂，其实不难，特别是对我们专升本考 试来说，一般在选择题、填空题、计算题、 应用题中出现。
y
y(x y)
D．
xln(x y2
y)
x y(x
y)
37．函数 z (1 y)x 在点 (1, 1) 处的全微分 dz ________．
46．求函数 f (x, y) x 2 3y 2 2xy 8x 的极值．
11.1.1 多元函数
1．二元函数的定义 定义 设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
一元函数的自变量只有一个，其定义域一般是一个或 几个区间.
二元函数有两个自变量，其定义域通常为平面区域. 平面区域：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通 性（如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分 平面的折线段连接起来，这样的部分平面称为具有连通性） 的部分平面，称为平面区域，简称区域.二元函数的定义域 通常为平面区域. 边界:围成区域的曲线称为区域的边界. 闭域:包括边界在内的区域称为闭域.