X 沿 l 趋向于X0 . 另外比值 的分母大于0. 如图 y
l X = (x0+x, y0+y) y
f (X ) f (X0) || X 0 X ||

o
x X0=(x0, y0)
x
2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在. 则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数, (此时, y 0, x 0),
由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为 x = x0 + tcos y = y0 + tcos
t >0
或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 即 X = X0+ te
且 || X 0 X || || X X 0 || || te || t
表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.
但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率. 比如, 设 f (X)表示某物 体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导 就依赖于温度沿各方向下降的速度. 因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向 的方向导数.
f ( X 0 ) f ( X 0 ) cos cos x y
特别:
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2

4. 推广 公式可推广到三元函数中去.
z = f ( x, y)
x0
o
X0

T2
y
x
即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)
的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.
如图
z
M0

o
N
M l
y
X = (x0+x, y0+y)
X0=(x0, y0)
x
2. 方向导数定义 定义 设 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)的某邻域U(x0)内有定义.
6.1.7 梯 度
梯度的几何意义
梯度的基本运算公式 习例6-7
小 结
6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度
一、方向导数
1. 方向导数定义引入 函数的导数就是函数的变化率. f ( x0 x) f ( x0 ) y lim 比如, y = f (x), f ( x0 ) lim x 0 x 0 x x 如图所示 y 其中, y是函数改变量,
z
M0
以 X0 为端点引射线 l , 其单位方 向向量为 e = (cos, cos), 设X = (x0+x, y0+y)是 l 上另一点.
x

o
N
M l
y
X0=(x0, y0)
X = (x0+x, y0+y)
z
若当 X 沿 l 趋于 X0 时,
对应的函数改变量与线
0 0
段X X的长 || X X ||的比值
高等数学A
第6章多元函数微分学
6.1 多元函数微分的基本概念
6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度
方向导数定义引入
6.1.6 方向导数 方 向 导 数 梯 度
方向导数定义 方向导数存在定理 方向导数的计算习例
定义 方向导数与梯度的关系
z z x (1,2) cos z y (1,2) cos 1 2 3. l (1, 2)
例2.
解
x2 y 2 a b x2 y 2 求z 1 ( 2 2 )在点( , )处沿曲线 2 2 1 a b a b 2 2
在这点的内法线方向的方向导数.
y
|x|0
lim
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
x0
f x( x0 , y0 )
同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f 'y (x0, y0), 而沿 y 轴负方向的方向导数为 – f 'y (x0, y0).
3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.
把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念. z 1 : z = f ( x, y0 )
M0
1
z = f ( x, y)
o
X0
y0
y
即 f ‘x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切 线对 x 的斜率.
x

T1
z
2
M0
2 : z = f ( x0 , y )
x0
f x( x0 , y0 )
在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数, (此时, y 0, x 0),
f ( x0 , y0 ) l
lim
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
2
0
lim
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) | x |
x>0 xห้องสมุดไป่ตู้+x
o
x0+x x0
x
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率.
又比如, z = f (x, y), 偏导数
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) lim x 0 x
f (X0 + te ) – f (X0) = Jf (X0) · ( te ) + 0(|| te ||) = t [(Jf (X0) · e] + 0 ( t )
除以 t > 0, 并令 t 0+, 有
f ( X 0 ) f ( X 0 te) f ( X 0 ) lim t 0 e t 0(t ) lim J f ( X 0 ) e = Jf (X0) · e t 0 t
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
M0

o x
N
M
l

y
的极限存在.
X0=(x0, y0) X = (x0+x, y0+y)
则称它为 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)
沿 l 的方向导数.
f ( X 0 ) f ( x0 , y0 ) 记作 , . l l f ( X 0 ) f ( x0 , y0 ) 或 , . e e f ( x0 , y0 ) 即 l f (X ) f (X0) lim X X0 || X 0 X ||
|| X0 X || = || X || = t

o
x
由方向导数定义
f ( X 0 ) e
lim
沿l
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
X X0

f ( X 0 te) f ( X 0 ) lim t 0 t
看 f (X0 + te) – f (X0).
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
分别表示函数在点 (x0, y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向 的变化率.
如图 z
z f ( x0 , y )
y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
= Jf (X0) · X + 0(|| X ||)
即 z = f (X0 + X ) – f (X0) = Jf (X0) · X + 0(|| X ||)
上式对任何x, y 都成立.
特别, 当 X = X0 + X 在射线 l 上时, 当然成立.
即, 当 X0 + X = X0 + te 时, 有
= Jf (X0) · e. (最后两式为数量积)
证: 如图
在射线 l 上取点 X = (x0+x, y0+y) = X0 + X 其中, X =(x, y)
y
X0 = (x0+x, y0+y) l x X0 = (x0, y0) e y
因向量X = X – X0 = X0 X // e , 故 X = te , (t > 0), X = X0 +te ,
即, 若 u = f (x, y, z) 在点 X0 = (x0, y0 , z0) 可微,
则 u 在该点处沿任何方向e = (cos, cos , cos ) 的方向导数存在
且
f ( X 0 ) e
= Jf (X0) · e
f ( X 0 ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) cos cos cos x y z
5.方向导数的计算习例
2 2 求 z x y 在点(1,2)处沿从(1,2)到(2,2 3) 例1.
的方向的方向导数.
解
z x (1, 2) 2 x | x 1 2, z y (1, 2) 2 y | y 2 4
方向l {1, 3}
1 1 3 3 cos , cos 1 3 2 1 3 2
y 就是平均改变量. 即 x 平均变化率.
o
y = f ( x)
y
x<0 x0+x x0