的距离定义为
PQ ? ( x1 ? y1 )2 ? ( x2 ? y2 )2 ? ? ? ( xn ? yn )2
n 维空间中点 P0 的?邻域为
U? (P0 ) ? U ( P0, δ ) ? {P PP0 ? δ , P ? Rn}.
n 维空间中内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．11
P0 P0
概 念
连通的开集称 区域 或开区域.
如 {( x, y)1 ? x2 ? y2 ? 4},
{( x, y) x ? y ? 0}
都是区域 .
?
?
y
y
x? y? 0
?
x? y? 0
O?
x
o
x
8
开区域连同其边界 ,称为 闭区域. y
多
如{( x, y)1 ? x2 ? y2 ? 4},
元 函
都是闭区域 .
也有不属于 E的点, 称P为E的边界点. ( P3 )
E的边界点的全体称为 E的边界, 记作 ?E .
5
聚点 如果对于任意给定的 ? ? 0,点P的去心邻域 多
元
U ( P ,? ) 内总有E中的点 (P本身可属于 E,也可不
函 数
属于E ), 则称P是E的聚点.
的 基
本
例如, 设点集 E ? {( x, y)1 ? x 2 ? y2 ? 2},
. P0
?
注
O
x
① 将邻域去掉中心 , 称之为去心邻域 . U (P0 ,? )
② 也可将以 P0为中心的 某个矩形内 (不算周界)
的全体点称之为点 P0邻域.
4
任意一点 P ? R2 与任意一点集 E ? R2 之间
必有以下三平面点集 ,点P ? E , 若存在
? ? ?
y1 ?
f1 ( x1 ,? ?
, xn )
?? ym ? fm(x1,? , xn )
13
第二节、多元函数的极限
多
1. 二元函数的定义
元 函
数
(1) 定义
的 基
例 理想气体的状态方程是 pV ? RT
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
多 元
设D为Rn 中的一个集合 . 那么对D中每一个点
函 数 的
( x1, x2 ,? , xn ) 在 Rn 中都有一个惟一的点
基 本 概
( y1, y2,?
, yn )
与之对应，映射
f :D?
念
Rm相当于
m个 n 元函数: Function of Many Variables
3
R2
邻域 (Neighborhood)
多
设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点 , ? ? 0, 令
元 函
U (P0 ,? ) ? {( x, y) ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ? }
数 的
基
称之为 点P0的?邻域, 有时简记为 U (P0).
本 概 念
y
几何表示：
数
o
x
的
基
有界区域
本 概
念
总可以被包围在一个以原点为中心、半径
适当大的圆内的区域 , 称此区域为 有界区域.
否则称为 无界区域 (可伸展到无限远处的区域 ).
9
y
O
x
有界开区域
y
y
多
元
函
数
的
O
x
基 本
有界闭区域
概 念
y
O
x
有界半开半闭区域
O
x
无界闭区域
10
(2) n 维空间 n 元有序数组 ( x1, x2 ,? , xn )的全体
第六章 多元函数微分学
z
z ? f (x, y)
?M
y
O
y
x
P
D
x
1
多元函数 多元函数的极限 多元函数的连续性 偏导数与全微分
复合函数与隐函数的微分法 方向导数与梯度
多元函数的微分中值定理与泰勒公式
隐函数存在定理 极值问题
2
第六章 多元函数微分学
第一节、多元函数
多
1. 平面点集 n 维空间
元 函
函 数
? ? 0,使U ( P ) ? E, 称P为E的 内点.( P1 )
的 基
显然, E的内点属于 E.
P3 ?
? P1
本 概
念
(2) 外点 如果存在点 P的某个邻域 U (P ),
E
使U(P) ∩ E = ? , 则称P为E的 外点.( P2 )
? P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于 E的点,
一元函数
R1
数 的
平面点集
R2
基 本
n 维空间
Rn
概 念
(1) 平面点集
建立了坐标系的平面称为坐标面 . 二元有序
实数组(x, y)的全体, 即
R2 ? R? R ? {( x, y) x, y? R} 坐标面
坐标平面上具有某种性质 P的点的集合 , 称为
平面点集 , 记作 E ? {( x, y) ( x, y)具有性质P}.
多
称为 n 维空间. 记作 Rn ; 即
元 函
Rn ?
R? R??
? R ? {( x1, x2 ?
, xn ) xi ?
R, i ? 1,2,?
}.
数 的
n 维空间中的每一个元素 ( x1, x2 ,?
, xn )称为空间中
基 本 概
的一个点 ,数xk称为该点的第 k个坐标.
念
n维空间中两点 P ( x1, x2 ,? , xn )及 Q( y1, y2 ,? , yn )
边界上的点都是聚点也都属于集合．
7
开集 若E的任意一点 都是内点 , 称E为开集.
例 E1 ? {( x, y)1 ? x2 ? y2 ? 4} ? E1为开集.
多 元
函
平面区域 (重要)
数 的
设D是开集. 如对D内任何两点 , 都可用折线连
基 本
结起来
,且该折线上的点都属于
D,
称开集
D是连通的
.
6
说明：
1. 内点一定是聚点； 2.边界点可能是聚点；
例 {( x, y) | 0 ? x2 ? y2 ? 1}
(0,0)既是边界点也是聚点． 3. 点集E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
例如, {( x, y) | 0 ? x2 ? y2 ? 1} (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, {( x, y) | x2 ? y2 ? 1}
称为 称为
E E
的内点：如果存在一个正数 的外点：如果存在一个正数
?使得 ?使得
U?
(P0
)
?
E
U? (P0 ) ? E ? ?
? P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
? U? (P0 ) 中即有E中点又有非E中点 P0 即不是E的内点也不是 E的外点
闭区域： G ? G ? ?G
12
概 念
点P( x0 , y0 ) ? R2 ,若1 ? x02 ? y02 ? 2,则P为E的内点;
若 x02 ? y02 ? 1或 x02 ? y02 ? 2,则P为E的边界点 , 也是 E的聚点 .
E的边界 ?E 为集合
{( x, y) x2 ? y2 ? 1} ? {( x, y) x 2 ? y2 ? 2}.