第五章 分子动力学第一节 Verlet 算法 牛顿方程i i i m f dtr d 22 记 N r r r R ,,21N N m f m f m f G,,2211 方程写为2d R G dt v v三点公式242111122n n n n n n n R R R G R R vv v v v v vr 如果给出初始条件0R 和1R，可求解方程，但常常给出的初始条件是00,v R，那么 020012G v R R(为什么？ 因为dv G dt r ，所以，0000()'(')tv t v dt G t v t G r r v;， 所以，210000000'(')R R dt v t G R v Gr r r r r ;) 方法的优点： 保持时间反演不变性，即令 n n , 方程形式不变（尽管误差会破坏这一对称性）如果问题与v无关，计算精度相当高方法的缺点：n v v必须用到1n R v （为什么是缺点？）另一方案2221112!()2n n n n n n n n R R v G v v G Gv v v v v缺点：失去时间反演不变性第二节 多体问题的基本方法 （阅读材料） 全同粒子，概率分布为N r r r W R W 21, 物理量平均值1iiA A R W R dRdR dr ZZ W R dRv v v v v v v分子动力学1lim dt t A A n 个粒子处于 n r r ,1的分布密度函数N n n n r d r d R W n N N Z r r r121!!1, !!n N N 来自N 个粒子中取n 个的组合数例如：N n 是11 n 是N 通常记 r r1 ，称系统的粒子密度定义 1ˆNi i r r rv v v 则ˆr rv v证明：这是显然的111221ˆ,,,Ni N ii N N ii r r r W r r dr ZN W r r r dr Zvv v v v vL v v v v L这里假设了 N r r W ,1是关于交换i r 和j r对称的还可证明2ˆˆ,r r r r r r rv v v v v v v证明：111ˆˆN N i j i j r r r r r r W R dR Zv v v v v v v v如N i i N r d r r r r W N N Z r r 33,,!2!1 如ˆˆ,r r r rv vv v多出一项， 来自 Ni i i r r r r 1的贡献。
我们定义粒子对分布函数r r g , 如下 2,,r r r r r g r r r r v v v v v v v v v当系统的密度比较均匀时， ,g r r r v v v退化为1Nij i jg r r r N v v v粒子对分布函数包含体系丰富的关于平移对称性的性质● 对固体，粒子对分布函数在晶体格距呈现尖锐峰值 ● 对液体，分布函数只呈现平坦峰值，而且随距离迅速消失 类似地，还可以定义关于对称性的物理量。
第三节 分子动力学的简单应用 1．二维固液相变的磁偶极子模型 Hamiltonian H=K+VK 是动能项，势能项 31()i j V r r :r r 在实际模拟中，为了节省计算时间，可以切断相互作用的力程。
但无论如何，带有相互作用的系统的模拟比硬碟模型困难多了。
我们特别关注对称性 空间关联函数6,,()exp(6(()(0))i j i j g r i r r时间关联函数6,,()exp(6(()(0))i j i j g t i t数值模拟结果与实验结果较好吻合2．二维4 理论的Hamiltonian 动力学 假设是孤立系统，Hamiltonian 为其中d dt，Hamiltonian 方程为i i i i i i m H 42222!41212121应当指出，这里我们已经把 定义在格点上。
在连续极限下，这便是Ginsburg-Landau 理论。
应用 ● 场论 ● 宇宙学 ● 统计物理学 ● 凝聚态物理学..….Verlet 算法在相变点附近，由于动力学慢化，求解方程到平衡态比较困难。
点阵太小，存在有限点阵效应。
点阵太大，关联时间长，难以达到平衡态，误差难以控制。
如果我们已经非平衡态动力学，这一困难不存在。
假设初始状态是高温态，即随机态。
我们测量宏观物理量，如磁化等，随时间的演化，可以确定相变点以及相关的临界指数。
物理量的测量，例如，磁化强度和它的二次矩2()1kk i i ML， k=1,2 自关联函数2232123!i i i i i id m dt2222ii i i d t t t dt21()(0)()i i iA t t L磁化的标度行为从这式子我们可以测量相变点（即相变能量），指数 和 1/z从时间自关联函数和磁化的二次矩可以测量指数z 和 /0001,,1,,x z z z M t m t M t t mztF t m m 100~ ) (small结果可以和Ising 模型以及Monte Carlo 动力学比较关键是Lorentz 不变性被破坏，所以，1z 3． 一维热传导的简单模型热传导已经是一个古老的物理问题。
现在人们对它又感兴趣，一方面是纳米材料的兴起，另一方面是低维热传导有些不同于高维的特点，如热传导系数发散等。
在环境温度差的驱动下，产生能量的定向流动，由能量守恒，我们得到热传导方程(,)(,)df x t j x t dtr r 其中f(x,t) 是能量密度分布函数，(,)j x t r是能流密度矢量。
在稳态时，Fourier 定律假设()()j x k T x r r常数k 称热传导系数。
对一维系统，k 发散。
一个简单模型一根空心管，管内壁设置一些障碍物，最简单情形，是一些半园。
管子两端分别射出一些粒子，出射粒子的速度由两端的温度决定。
温度高的粒子速度快，温度低的速度慢。
用分子动力学方法模拟粒子的运动，可以看到能量从高温端向低1.252.165(10).191(1)Ising.95(5) .24(3) 2.148(20) .176(7)Z42温端传递。
按照温度是平均动能的概念，21()2i i T x mv再测量能流密度，221122H L j mv mv从而计算热传导系数。
一般地， k L :其中L 是体系的尺寸， 是正数，其数值与体系有关。
参考文献：D. Alonso, R. Artuso, G . Casati, I. Guarneri ，Phys. Rev. Lett. 82, 1859 (1999)小结：● 分子动力学方法求解多粒子系统的基本微观运动方程 广泛应用比较耗时，误差有时不易控制 ● Monte Carlo 方法求解多粒子系统的平衡态或非平衡态问题 处于微观或介观层次 较广泛应用简单实用，比较节省时间有限元方法求解宏观或介观运动方程例如，静电势的Poisson 方程224(),[0,1]d x x dx把空间分割成许多小块，每块用坐标 {}i x 标记。
设1()()nn i i i x a u x其中()i u x 定义于i x 附近的局域函数。
显然，如果n 足够大，()n x 可以逼近方程的解()x 。
如果n 有限，记方程的误差为 ()''()4()n n r x x x现在，我们的目标是选取恰当的{}i a 使()n r x 极小。
例如，引入1()()i n i g dx r x w x其中()i w x 是一个权重函数，然后取i a 使i g 为零。
这样，条件1[''()4()]()0ni j j i jg dx a u x x w x便等价于一个n 元的线性方程组 Aa ＝b a 是{}i a 的列矩阵，而14()()i i b dx x w x)()(1''x w x u dx A i j ij例如，Galerkin 方法设()0i u x ，取()()i i w x u x ，111()/[,]()()/[,]0i i i i i i i x x hx x x u x x x hx x x otherwise这里10,0,1i i n h x x x x试题：I ． （50分）1）设积分 b a S f x dx ，试证明10()n k k S h f x h ，12101(()())2n k k k S h f x f x h ， 其中 10,,k k n h x x x a x b 。
2） 设 x f x e ，具体写出上述两个表达式。
II ． （50分）1）设积分()ba S f x W x dx ， 假设我们可以按照分布W(x)得到{}l M x 个点，则11()1/Ml l S f x M ， 如果用Markov 过程产生{}l x ，转移矩阵应当满足什么条件？2）设 x W x e ，写出相应的Metropolis 算法的转移矩阵。