4.5反函数的概念
一、教学内容分析
“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计
（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；
（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；
（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、
独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.
三、教学重点与难点：
反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念
引例：在两种温度度量制摄氏度(C
)和华氏度（F
）相互转化时会发现，有时两人选
用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号
)(1
x f
y ；了解)(1
x f
表示反函数的符号，1
f
表示对应法则.
2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.
例1（1）2
x y （R x ）的反函数是 （2）2
x y （0 x ）的反函数是 （3）2
x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：
（1）24 x y （2）13
x y （3）)0(12
x x y
（4）)2
1
,(2413
x R x x x y
[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1
y f
x ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1
x f
y ；
（3）写出定义域:注明反函数的定义域.
③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.
例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）
教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反
函数之间的关系.
学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y 有反函数)(1
x f
y ，则)(1
x f
y 的反函数是
)(x f y ，即)(x f y 和)(1
x f
y 互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原
函数的值域与定义域.
②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y 对称.
③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练习：
1、给出下列几个函数：①)21
(12
x x y ；②
)
2(2)1(4x x x y ③)(23
R x x y ④)0()2( x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④
2、若指数函数)(x f y 的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )
（A ） x
y )2
1( （B ）x y 2 （C ）x
y 3 （Ｄ）x y 10
3、设)1(22)( x x x f ，则)(1
x f
（ D ）
（A ）在（), 上是增函数 （B ）在（), 上是减函数 （C ）在),0[ 上是减函数 （Ｄ）在（]0, 上是增函数
4、若函数)(x f 是函数 10222 x x y 的反函数，则)(x f 的图像为 （ B ）
A B C D
5、)21( 22
x x x y 反函数是 （ B ）
（A ）)11( 112 x x y （B ）)10( 112 x x y （C ）)11( 112 x x y
（D ）)10( 112 x x y
6、若)0( a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y 本身，求b a ,应满足的条件.
解：由b ax y ，得b y ax .由0 a ，知a
b y a x
1. 所以函数b ax y 的反函数为a b
y a x
1. 由于函数b ax y 的反函数a
b
y a x 1就是函数b ax y 本身，即有
x
x
x
y
y
y
y
a a 1，且
b a
b
. 于是，解得1 a ，0 b 或1 a ，b 为任意实数.
教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次
函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(1
1
),0(
x x y k x k y 等) 4、课堂小结
①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置 练习册4.5 A 组 六、教学设计说明
1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.
2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y 的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.
3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y 有反函数)(1
x f
y ，则)(1
x f
y 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和
)(1
x f
y 互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义
域.
4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y 对称，从而巩固对反函数概念的理解.
小
学二（2）班班规
一、 安全方面
1、 每天课间不能追逐打闹。
2、中午和下午放学要结伴回家。
3、公路上走路要沿右边走，过马路要注意交通安全。
4、不能在上学路上玩耍、逗留。
二、学习方面
1、每天到校后，不允许在走廊玩耍打闹，要进教室读书。
2、每节课铃声一响，要快速坐好，安静地等老师来上课。
3、课堂上不做小动作，不与同桌说悄悄话，认真思考，积极回答问题。
4、养成学前预习、学后复习的好习惯。
每天按时完成作业，保证字迹工整，卷面整洁。
5、考试时做到认真审题，不交头接耳，不抄袭，独立完成答卷。
三、升旗排队和两操方面
1、升旗时，要快速出教室排好队，做到快、静、齐，安静整齐地排队走出课室门，班长负责监督。
2、上午第二节后，快速坐好，按要求做好眼保健操。
3、下午预备铃声一响，在座位上做眼保健操。
四、卫生方面
1、每组值日生早晨7：35到校做值日。
2、要求各负其责，打扫要迅速彻底，打扫完毕劳动工具要摆放整齐。
3、卫生监督员（剑锋，锶妍，炜薪）要按时到岗，除负责自己的值日工作外，还要做好记录。
五、一日常规
1、每天学生到齐后，班长要检查红领巾。
2、劳动委员组织检查卫生。
3、每天负责领读的学生要督促学生学习。
4、上课前需唱一首歌，由文娱委员负责。
5、做好两操。
6、放学后，先做作业，然后帮助家长至少做一件家务事。
7、如果有人违反班规，要到老师处说明原因。
班训：
坐如钟站如松快如风静无声
班规：
课堂听讲坐如钟，精神集中认真听；
排队升旗站如松，做操到位展雄风；
做事迅速快如风，样样事情记得清；
自习课上静无声，踏实学习不放松；
个人努力进步快，团结向上集体荣；
我为领巾添光彩，标兵集体记我功。
扣分标准
1 没交作业、不做晚作业-1
2 忘带书本、学具-1
3 迟到-1
4 在课堂上被老师点名-2
5 不穿校服，不戴红领巾-1
6 吃零食、带钱、带玩具-2
7 说脏话、打架-3请家长，写保证书
8 座位周围有垃圾-2
-1
9 课间操、眼保健操不认
真做
10 升旗时违反纪律-2
11 来学校不进教室，在走
-1
廊聊天打闹
-2
12 体育课打闹说话、排队
不整齐
注：每人基本分60分起，学期末核算总分，作为学期评先依据。