对反函数定义的理解
（1） 不是每一个函数都有反函数； 一个函数有反函数的充要条件是它 相应的映射是一一映射； （2） 原函数与反函数的法则互逆；它 们互为反函数；
（3）反函数也是函数，因为它是符合函 数定义的； （4）原函数与反函数的定义域与值域互换。
反函数的图象
1.函数y=f(x) 在其定义域内满 足什么条件才有反函数? 2.(1)如果函数y=f(x)在其定义域 内单调,那么它是否一定存在反函数? (2)如果函数y=f(x)在其定义域 内为常值函数,它是否存在反函数? 3.如果函数y=f(x)在其定义域内 存在反函数,我们如何求出来?
无机保温砂浆材料保温系统适用于各种墙体基层材质，各种形状复杂墙体的保温。全封闭、无接缝、无空腔，没有冷热桥产生。 并且不但做外墙外保温还可以做外墙内保温，或者外墙内外同时保温，及屋顶的保温和地热的隔热层，为节能体系的设计提供 一定的灵活性。 4、绿色环保无公害：无机保温砂浆材料保温系统无毒、无味、无放射性污染，对环境和人体无害，同时其大量推广使用可以 利用部分工业废渣及低品级建筑材料，具有良好的综合利用环境保护效益。 ； / 玻化微珠保温砂浆 kfh85ndg 强度高：无机保温砂浆材料保温系统与基层粘结强度高，不易产生裂纹及空鼓。这一点在国内所有的保温材料相比具有一定的 技术优势。6、防火阻燃安全性好，用户放心：无机保温砂浆材料保温系统防火不燃烧。可广泛用于密集型住宅、公共建筑、 大型公共场所、易燃易爆场所、对防火要求严格场所。还可作为放火隔离带施工，提高建筑防火标准。 什么交情。而且，如果只是赫奕还好办，关键是八弟，作为内务府的协理副管事，只要是稍有风吹草动，八弟那么嗅觉灵敏的 人，怎么可能不知道？如何才能既不打草惊蛇，又如愿拿到名单，是摆在王爷面前的首要难题。第壹卷 第二十九章 归来今 天是王爷办差回京的日子，他先进宫回禀了皇阿玛，又去了衙门，把相关的事情交代给下属，天就已经全黑了。犹豫了壹下， 他决定先回府里。王府早就得知爷今天回京，雅思琦把握不准爷是否回来晚膳，更不知道会在哪里用晚膳，最终的结果就是在 霞光苑和书院都按爷的口味置备了，她自己也是没敢让红莲把晚膳摆上来，只是都等到这么晚了，还是没有消息。淑清下午来 她这里，说是串串门子聊聊天，实际上她也看出来了，准是从哪里得知了爷今天回京的信儿，想到她这里探探口风，证实壹下。 雅思琦是何等精明的人，哪里肯轻易地露出消息来，壹下午只是哼哼哈哈地跟淑清兜着圈子。正在雅思琦等得心急如焚的时候， 何全来禀报，爷进府了。“爷去哪儿了？”“直接回朗吟阁了。”“没说什么吗？”“秦公公没提。”“噢，那你先下去吧。” 待何全刚壹下去，红莲就上前问道：“福晋，奴婢先去把晚膳再置备壹下？”“嗯，先备着吧，如果爷来了的话……”“福 晋”“什么事儿？何全”“爷又出府了。”“啊？”“福晋，要不奴婢这就把晚膳摆上来吧。”“算了，我也不想吃 了。”“您好歹还是吃壹口吧，身子受不了。”“我实在是没有胃口，什么时候想吃了再说吧。”王爷只带了秦顺儿，出了府 门，两人各骑壹匹马，朝京城东南方向奔驰而去。爷出门的时候也没有说去哪里，秦顺儿只好壹路紧追。开始还是疑惑不已， 但是越走，秦顺儿越觉得眼熟，这好像是朝着？对，王爷的目标就是年府。20多天前失了约，他内疚不已，但是事情紧急，没 有办法，今天好不容易回到了京城，他急于“见”到玉盈姑娘！来到了那熟悉的院墙外，他翻身下马，静静地等了壹会儿，没 有他熟悉的琴声，又等了小半个时辰，还是没有等到。于是，他从怀中掏出玉萧，定了定神，娴熟地吹起了那首《彩云追月》。 壹曲、两曲、三曲，壹共吹了二十曲，仍然没有壹丝壹毫的筝曲回音。他怅然若失地收起了玉箫，想了想，壹言不发地翻身上 马，直接回了王府。第二天的晚上，他再次来到了年府的院墙外，四周寂静无声，他没有等，直接吹起了那熟悉得不能再熟悉 的《彩云追月》。二十曲《彩云追月》吹完，四周再次恢复了寂静。第三天的晚上，他依然来到了年府的院墙外，依然四周寂 静无声，依然是二十曲《彩云追月》，依然是再度寂静。他无限惆怅地望向天空中的那壹轮明月，何日才能摘得这远空中的明 月，抱得美人归？此时，年府的
ax b
f (1) 2, f ( 2 ) 1
ab 2 a 3 即 解之得 b 7 2 a b 1
小结：
1.如果函数y=f(x)在其定义域内存在反函数,
那么它们关于 y=x 对称。
2.对称性的应用
作业：
(1)思考题：
① 点（a,b）关于y= -x 的对称点是什 么？ ②求y=2x 关于直线y= -x的对称直线。
g ( x )是函数 y f ( x )的反函数.
又 f ( x) 2x 3 x 1
g ( x)
x3 x2
g ( x 2) 1
5 x
.
3.( 2001年太原模拟)设函数f ( x ) 图象与y f
1
2x 3 x 1
,已知函数y g ( x )的
[复习] 定义 设函数y=f（x）（x∈A）的值域 为C，从 y=f（x）中解出x，得到 x=φ（ y）。如果对于y在C中的任何一个值， 通过x=φ（y），x 在A中都有唯一的值 和它对应，那么， x=φ（y）（y∈C） 就表示y是自变量，x是y的函数。叫做 y=f(x) （x∈A）的反函数。记作 x=f －1 （ y）
(2).y= x3,
x∈R
例1: (1).y=3x-2,
R
解:
y
x∈
y=3x-2
y=x
Y =(x+2)/3
1 O
P
x
1
例2： (2).y= x3,
x∈R
解:
y
y=x^3
y=x
P 1
y=x^(1/3)
x O 1
思考：
反函数与其原函数图象之间 有什么关系？
(1) y=3x-2 ,x∈R (2) y=x3 ,x∈R
例1.求下列函数在其定义域内的反函数. (1).y=3x-2, x∈ R
(2).y= x3,
x∈R
例1: (1).y=3x-2,
解: (1).求函数值域：由于 x∈ R
所以 y ∈ R y 2 -1 (2).求出x= f (y): x= 3
3
x∈ R
(3).交换 x,y:
y= x 2
x 2 3
g (3) f (3) 1 7 2
1
小结 :由对称关系, 等价于 g ( x )与 f
( x 1)互为反函数.
4.( 2000年厦门模拟考)若点(1,2)既在y
ax b的图象上,
又在其互函数的图象上, 则a ___, b ___ .
解 : 依题意可知点(1,2)和点( 2,1)都在y 的图象上.
∴函数的反函数为：y=
(x
R)
例1: (2).y= x3 , x∈R
解: (1).求函数值域：由于 x∈ R
所以 y ∈ R (2).求出x= f-1(y): x= 3 y
(3).交换 x,y:
y= 3
x
3
∴函数的反函数为：y=
x
R) (x
例2：画出例1中两个函数的原函数及其
反函数的图象，并思考两者之间有什么关 系. (1).y=3x-2, x∈ R
练习
2.( 2004年岳阳市统考)设f ( x )
2x 3 x 1
的图象与g ( x )图象
关于直线y x对称, 则g ( x 2)为 _____
A.1
5 x
B.1
5 x2
C .1
5 x3
D.1
5 x5
解: f ( x )的图象与 g ( x )的图象关于直线 y x对称,
( x 1)的图象关于直线y x对称, 求g (3)的值.
1
解 :由题设知 g ( x )是 f
( x 1)的反函数.
1
设y f
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x 1), 则它的反函数为 x f
1
( y 1)
而f ( x) f [ f
( y 1)] y 1
即 y f ( x ) 1, 故 : g ( x ) f ( x ) 1.
猜测：
一般地，函数y=f(x)的图像和它 的反函数y= f-1(x) 的图像关于直线 y=x对称。
说明
释意：
一般地，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像 上，那么点(b,a)必然在它的反函数y=f-1(x)的 图像上。换言之，如果函数y=f(x)的图像上有 点(a,b)，那么它的反函数y=f-1(x)的图像上必 然有点(b,a)。