[π + 2kπ,2π + 2kπ ](k ∈ Z)
π
单调减区间: 单调减区间:
3π [ + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2
单调减区间: 单调减区间:
π
[2kπ ,π + 2kπ ](k ∈ Z)
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y = tan x
3π − 2
−
π
2
π
2
3π 2
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第一章
第二节
初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
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一、基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数
幂 函 数
定义: 称为幂函数,其中x是 定义:函数 y = x 称为幂函数,其中 是
自变量, 自变量
µ
µ是常数 是常数.
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画出 y = x , y = x , y = x , y = x , y = x 的图像
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反正弦函数
y = arcsin x
定义域： [-1，1] 定义域 值 域： [ −
π
y
2
π π
, ] 2 2
y = arcsin x −1
O
1x
奇偶性： 奇偶性： 奇函数 单调性： 单调性： 在 [-1，1] 单调递增 有界性： 有界性： 有界函数
−π 2
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因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个 因为这个区间是最简单的 且每一个余弦值都对应一个 角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间 且是余弦函数的一个单调区间. 角在这个区间 且是余弦函数的一个单调区间
定义域: 定义域:(0, +∞ )
ln x 换底公式：log a x = ln a
A > 0, A =
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e
ln A
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0<a<1
a>1
图
( 1, 0)
象
定义域: (0, +∞) 定义域:
( 1, 0)
性 质
值域: 值域:
( −∞, +∞)
当0<x<1时, y < 0 时 当x>1时, y > 0 时 在 (0, +∞) 上是增函数
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反余切函数 y = arc cot x
定义域： 定义域 （ − ∞, +∞） 值域： 值域： 奇偶性： 奇偶性：
π
π
2
y = arc cot x
(0, π )
无
单调性： （ 单调性： 在 − ∞, +∞)单调递减 有界性： 有界性： 有界函数
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二、复合函数
定义: 定义
注意: 不是任何两个函数都可以复合成一个复 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 合函数的 ——复合条件 复合条件
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2
x 2
x
= 2 .
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3x +1, x <1 求 f [ f (x)]. 例4. 设函数 f (x) = , x ≥1 x , x 换为 f (x) 解:
3 f (x) +1, f (x) <1 f [ f (x)] = f (x) ≥1 f (x) ,
x<0
ymin= −1
x = kπ +
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f(x)= 0
x = kπ (k ∈ Z)
π
2
(k ∈ Z)
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f(x)=sinx 图 象 2π 奇函数 单调增区间: 单调增区间: 单调性
[− + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2
f(x)= cosx
x
x
周期性 奇偶性
π
2π 偶函数 单调增区间: 单调增区间:
单调性： 单调性： 正切函数在开区间 − π + kπ , π + kπ , k ∈ Z 2 2 内都是增函数。
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y
y = cot x
−π
−
π
2
o
π
2
x π
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余切函数的性质： 余切函数的性质：
{ 定义域： 定义域： x | x ≠ kπ , k ∈ Z }
1
0 -1 π
2
π
3π 2
2π x 0
π
2
π
3π 2
2π x
-1
R [−1,1] −
x = 2kπ +
π
R [−1,1] −
x = 2kπ (k ∈ Z) 时
最
值
ymax=1
x = 2kπ −
2
(k ∈ Z) 时 (k ∈ Z) 时
π
2
ymax=1
x = 2kπ + π (k ∈ Z) 时
ymin= −1
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反正切函数 y = arctan x
定义域： 定义域 （ − ∞, +∞） π π 值域： 值域： (− , )
2 2
y
y = arctan x
π
2
o
−
π
2
x
奇偶性： 奇偶性： 奇函数 单调性： （ 单调性： 在 − ∞, +∞)单调递增 有界性： 有界性： 有界函数
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D = D1 ∩ D2 ≠ Φ ,则我们可以定义这两个函数的
下列运算: 和(差) f ± g : ( f ± g )( x) = f ( x) ± g ( x), x ∈ D; 积 f ⋅g:
( f ⋅ g )( x) = f ( x) ⋅ g ( x), x ∈ D;
f f ( x) ( )( x) = , x ∈ D \{x | g ( x) = 0, x ∈ D} g g ( x)
3(3x +1) +1
9x + 4 , x < 0
=
3x +1, 0 ≤ x <1
x, x ≥1
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内容小结
1. 基本初等函数的性质 2. 复合函数 3. 初等函数的结构
第二节 目录
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作业
P13 1 (1)(2) ; 2 (3); 4
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对 数 函 数
求 y = a ( x ∈ R, a > 0, a ≠ 1) 的反函数
x
解: y = a x ( x ∈ R )的值域为(0, +∞ ),即 y > 0
y = a ⇒ x = log a y
x
反函数为: 反函数为: y = log a x ( x > 0, a > 0, a ≠ 1) 对数函数
解
u = sin v , v= t , t = x 2 + 1. g [ f (x)] .
f ( x) x2
u ⑵ y= e ,
例3
2 x 设 f ( x) = x , g ( x) = 2 , 求 f [g (x )],
解
f [ g ( x )]=[ g ( x )] =( 2 ) = 4 , g [ f ( x )] = 2
y ≠ arcsin(2 + x2 )
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复合条件在实际应用时常取形式 内层函数的值域落在外层函数的定义域之内 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 合构成
x y = u, u = cotv, v = . 2
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函数的运算 设函数 f ( x), g ( x) 的定义域依次为 D1 , D2 ,
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µ
指 数 函 数
定义: 叫做指数函数, 定义:函数 y = a 叫做指数函数, 是一个大于0,且不等于1的常量, 0,且不等于 其中 a是一个大于0,且不等于1的常量,函 数的定义域是R. 数的定义域是R. x
x
y=a
(a > 0, a ≠ 1) x ∈ R
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正割函数
余割函数
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y
y
O
x
O
x
y=sinx
y
y=cosx
y O
O
x
x
y=tanx
y=cotx
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反三角函数
y y y y
O
x
O
O x 1 x O 1 x
y=Arcsinx
y=Arccosx
y=Arctanx
y=Arccotx
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当 x = 1 时, y = 0 , 即过点 ( 1 , 0 ) 当0<x<1时, y > 0 时 当x>1时, y < 0 时 在 (0, +∞) 上是减函数