定义5.13 设
定义5.14 设
例5.14 个数的最小公倍数的运算。则
表示求两
解： 零元是不存在的， 只有惟一的逆元。
例5.15 在有理数集Q上定义二元运算*
解：
例5.16 设有集合
讨论这5个集合对普通的乘法和加法运算是否封闭。 解：
例5.17 设
解：
第六章 几个典型的代数系统
例6.26 设n是正整数
例6.27（1）对于偏序集
定理6.22
设
定理6.23 设
定义6.26 设
定义6.27 设
例6.28 设格
定义6.28 设
例6.29 说明下图中的格是否为分配格， 为什么？
定义6.29 设
定义6.30 设 例6.30 例6.31
定义5.3 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x，y，z∈A， 都有 (x*y)*z ＝ x*(y*z) ，则称该二元 运算 * 是可结合的，或者说运算 * 在 A 上适合结合律。 例5.3 设A=Z,“+”是整数中的加法：则 “+”在Z中适合结合律。 “。”是整数中的减法：则特取 而 运算“。”不满足结合律
解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适 合幂等律。单位元是a，没有零元，且
运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消
去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元，
运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，
不适合消去律。没有单位元，没有零元， 没有可逆元素。
5.3节
定义 5.10 个运算 记作
从表中可以看出，运算满足封闭性，满足结合律 和交换律，0是单位元，每个元都有逆元 ，
定理6.2 设
下面证明唯一性
从而唯一性得证。
例6.8 设
定理6.3
定理6.4 设
定理6.5 G为有限群，则 G的运算表中的每 一行（每一列）都是G中元素的一个置换， 且不同的行（或列）的置换都不相同。 定义6.10 设
解： H的右陪集为
定理6.9 设H是群
定理6.10 设
定理6.11 设
证明： 略。 推论6.1
定理6.12 设
定理6.13 设
定义6.12 群 定理6.14（拉格朗日定理）设 即子群的阶数一定是群的阶数的因子。 根据定理6.11的推论有
推论6.2 设 推论6.3 设
定义6.31 设
定义6.32 设
定义6.33 如果一个格是有补分配格，则称 它为布尔格或布尔代数。
代数系统
设 S 是非空集合，由 S 和 S 上若干 构成的系统称为代数系统，
代数系统也简称为代数。 例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算， M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法 运算，
定义5.11 设 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数， 则称
定义5.12 设
例5.11 设
6.5
定义6.22 设
环和域
例6.21 （1）整数集
定理6.21 设
2,3证明略。
例6.22
定义6.23 设
例6.23 （1）整数环
例6.22模6整数环
定义6.24 设
6.5
定义6.22 设
环和域
例6.25 设
6.6
格与布尔代数
定义6.25 设
例5.1设A＝{x|x＝ 2 ，n∈N}，问 在集合A上通常的乘法运算是否封闭， 对加法运算呢?
n
解：对于任意的
所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的 , 因为至少有
定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的 x,y∈A，都有 x*y ＝ y*x ，则称该二元运算 * 是可交 换的。 例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba· b，问运算*是否可交换。 解：因为 a*b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
元。
代数系统的定义及其性质。
5.1节 二元运算及其性质
定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。 在整数集合 Z 上，对任意两个整数所进 行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
如何判断一个运算是否为集合 S 上的 二元运算 1 唯一性 集合S中任意的两个元素都能进行这种运 算，并且结果要是唯一的。 2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
定义5.5 设。和*是S上的两个二元运 算，如果对任意的 有
例5.5 在实数集R上， 对于普通的乘法和加法有 即乘法对加法是可分配的。
定义5.6 设。和*是定义在集合A上的 两个可交换二元运算，如果对于任意 的x，y∈A，都有 则称。运算和*满足吸收律 例5.6 设集合N为自然数全体，在N上定 义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)， 验证运算*和★满足吸收律。
例6.5设G={e,a,b,c},。为G上的二元运算， 它由以下运算表给出。不难证明G是一 个群，称该群为Klein四元群。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ义6.7 设
例6.6 在群
解：
定理6.1 设
证明：略。
定义6.8 设
定义6.9
例6.7 对于集合
列出其运算表如下表 这个群的阶数是6， 元素0，1，2，3， 4，5的次数分别 为1，6，3，2， 3，6。
例6.9 例6.10 群
定理6.6(子群判定定理1)设H是群 。
证明：必要性是显然的。
定理6.7( 子群判定定理2) 设H是群
证明：必要性 充分性证明：
定理6.8(子群判定定理3)设H是群
证明：必要性是显然的。
例6.11 设
6.2节
定义6.11 设
陪集与拉格朗日定理
例6.12 设
定理6.18 （群同态基本定理）设
6.4 定义6.17 设
循环群与置换群
定理6.19 设
例6.16
例6.17 设
定义6.18 设
例6.18 设
定义6.19 设
例6.19 4元置换
定义6.20设
定理6.20
定义6.21
例6.20 如图 进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但 经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格 中的数字可以改变）。如果把每种旋转或翻转看 作是作用在
定义6.5 设
例6.3 设
证明G关于矩阵乘法构成一个群．
故G关于矩阵乘法是Z上的代数运算，矩阵乘法 满足结合律，故G关于矩阵乘法构成半群，
在G中每个矩阵的逆元都是自己， 所以 G关于矩阵乘法构成一个群。
定义6.6 若群
例6.4 （1）在 中除0之外都没有逆元， 所以它仅是含幺半群而不是群。 中每个元素都有 逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所以 它们是交换群。 0没有逆元，所 以它们仅是有么半群而不是群。
定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
定理5.2 设*是S上的二元运算， 如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ， 又存在关于运算的右幺元 er 则S中必存在关于运算*的幺元e并且
2. 零元 定义5.8 设*是S上的二元运算，
第三部分 代数结构
第五章 代数系统
代数结构又称为代数系统，简称代数，是 抽象代数的主要研究对象。 代数系统的种类很多，它们在计算机科学 的自动机理论、编码理论、形式语言、时 序线路、开关线路计数问题以及计算机网 络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算 机理论科学等方面有着非常广泛的应用。
本部分主要内容 二元运算及其性质。 二元运算中的特殊元素幺元，零元，逆
本章讨论几类重要的代数结构： 半群、群、环、域、格与布尔代数
6.1节
定义6.1 设
是可结合的即：
半群与群
定义6.2若半群 例6.1（1）普通加法是 （2）普通乘法是N,Z,Q和R上的二元运算，满足 结合律且有幺元1
定义6.3 设
例6.2 定义6.3 设
定义6.4 设
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
定理5.6 设*是S上可结合的二元运算，e为 幺元 , 如果 S 中元素 x 既存在关于运算 * 的左 逆元 yl ，又存在关于运算*的右逆元 yr ， 则 S中必存在x关于运算*的逆元并且
5.1节 二元运算及其性质
定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。 在整数集合 Z 上，对任意两个整数所进 行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的 x,y∈A，都有 x*y ＝ y*x ，则称该二元运算 * 是可交 换的。 例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba· b，问运算*是否可交换。 解：因为 a*b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
在自然数集N上普通乘法的零元是0，而 加法没有零元。
定理5.3 设 *是S上的二元运算，如果S中 存在（关于运算*的）零元，则必是唯一的。
所以零元是唯一的。
定理 5.4 设 * 是 S 上的二元运算，如 果S中既存在关于运算 *的左零元 l 又 存在关于运算*的右零元 r